Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:\(\hept{\begin{cases}b^2=ac\\c^2=bd\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{b}{c}=\frac{a}{b}\\\frac{c}{d}=\frac{b}{c}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{27b^3}{27c^3}=\frac{8c^3}{8d^3}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\left(1\right)\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:
\(\frac{a^3}{b^3}=\frac{27b^3}{27c^3}=\frac{8c^3}{8d^3}=\frac{a^3+27b^3+8c^3}{b^3+27c^3+8d^3}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a}{d}=\frac{a^3+27b^3+8c^3}{b^3+27c^3+8d^3}\left(đpcm\right)\)
Bài 1:
a) \(A=75\left(1+4+4^2+...+4^{100}\right)+25\)
Ta thấy 75.4 = 300. Vậy nên \(A=75+300+300.4+300.4^2+....+300.4^{99}+25\)
\(A=300\left(1+4+4^2+...+4^{99}\right)+\left(75+25\right)\)
\(A=300\left(1+4+4^2+...+4^{99}\right)+100⋮100\)
Vậy A chia hết 100.
b) \(x^2+y^2=2y-1\Leftrightarrow x^2+\left(y^2-2y+1\right)=0\Leftrightarrow x^2+\left(y-1\right)^2=0\)
Vậy thì \(\hept{\begin{cases}x^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)
Bài 2:
Từ đề bài ta có:
\(a\left(a+b+c\right)+b\left(a+b+c\right)+c\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)^2=20+24-28=16\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=4\\a+b+c=-4\end{cases}}\)
TH1: a + b + c = 4; khi đó ta có:
\(\hept{\begin{cases}a=20:\left(a+b+c\right)=5\\b=24:\left(a+b+c\right)=6\\c=-28:\left(a+b+c\right)=-7\end{cases}}\)
Vậy a = 5; b = 6 và c = -7.
TH1: a + b + c = -4; khi đó ta có:
\(\hept{\begin{cases}a=20:\left(a+b+c\right)=-5\\b=24:\left(a+b+c\right)=-6\\c=-28:\left(a+b+c\right)=7\end{cases}}\)
Vậy a = -5; b = -6 và c = 7.
Ta có :
\(b^2=ac\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\)
\(c^2=bd\Leftrightarrow\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a^3}{b^3}=\dfrac{b^3}{c^3}=\dfrac{c^3}{d^3}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\)
Mà \(\dfrac{a^3}{b^3}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{a}{b}.\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{d}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\dfrac{a}{d}\)
Lời giải:
$b^2=ac\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{c}{b}$
Đặt $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=k\Rightarrow b=ak; c=bk$
Khi đó:
$\frac{a^{2022}+b^{2022}}{b^{2022}+c^{2022}}=\frac{a^{2022}+(ak)^{2022}}{b^{2022}+(bk)^{2022}}$
$=\frac{a^{2022}(1+k^{2022})}{b^{2022}(1+k^{2022})}=\frac{a^{2022}}{b^{2022}} (1)$
Và:
$(\frac{a+b}{b+c})^{2022}=(\frac{a+ak}{b+bk})^{2022}$
$=[\frac{a(k+1)}{b(1+k)}]^{2022}=(\frac{a}{b})^{2022}=\frac{a^{2022}}{b^{2022}}(2)$
Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
Chứng minh: \(VP=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=x^3-x^2y+xy^2+x^2y-xy^2+y^3=x^3+y^3=VP\)
Áp dụng vào bài
--------------------------------------------------
Ta có \(a+b+c=0\Leftrightarrow-c=a+b\)
\(\Rightarrow c^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+2ab+b^2\)
Xét \(a^3+b^3+a^2c+b^2c-abc\)
\(=a^3+b^3+c\left(a^2+b^2+2ab\right)-3abc\)
\(=a^3+b^3+c.c^2-3abc\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc\)
\(=a^2\left(a+b\right)+2ab\left(a+b\right)+b^2\left(a+b\right)+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)+c^3\) ( do a+b+c=0 )
\(=\left(a+b\right)\left[a\left(a+b\right)+b\left(a+b\right)\right]+c^3\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)+c^3=\left(a+b\right)^3+c^3\)
( Áp dụng \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\) )
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]=0\) ( do a+b+c=0 )
Vậy \(a^3+b^3+a^2c+b^2c-abc=0\)