Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
*) Bài toán thuận:
Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh BC ở điểm P, nối PM.
Gọi D; E lần lượt là trung điểm của AB và AC. I là trg điểm MN.
Ta có: NP // AB => ^NPC=^ABC (Đồng vị). Mà ^ABC = ^ACB => ^NPC = ^ACB = ^NCP
=> \(\Delta\)PNC cân tại N => CN=PN. Lại có: AM=CN => AM=PN
Xét tứ giác AMPN: AM=PN; AM // PN => Tứ giác AMPN là hình bình hành
Thấy I là trung điểm của đường chéo MN => I cũng là trung điểm của AP.
Xét \(\Delta\)PAC: I và E lần lượt là trg điểm của AP và AC => EI là đường trung bình \(\Delta\)PAC
=> IE // PC hay IE // BC. Tương tự ID//BC => D;I;E thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit)
=> I nằm trên đường trung bình DE của \(\Delta\)ABC cố định.
*) Bài toán đảo: Cho tam giác ABC cân A có M và N thuộc AB và AC sao cho AM=CN. MN cắt đường trung bình DE của tam giác ABC ở điểm I. CMR I là trung điểm của MN ?
Qua M kẻ đường thẳng // AC cắt DE tại Q .
Ta có: AB=AC => 1/AAB=1/2AC => AD=CE. Mà AM=CN => AD-AM = CE - CN => DM=EN
Dễ thấy \(\Delta\)DMQ cân tại M => DM=QM => QM=EN.
Xét \(\Delta\)MIQ và \(\Delta\)NIE: ^IMQ=^INE; ^IQM=^IEN (Do MQ//AC); QM=EN
=> \(\Delta\)MIQ=\(\Delta\)NIE (g.c.g) => IM=IN (2 cạnh tương ứng) => I là trung điểm MN (đpcm).
*) Vậy khi 2 điểm M và N di động trên AB và AC sao cho AM=CN thì trung điểm của MN luôn chạy trên đường trung bình của tam giác ABC.
G/s: Tam giác đều ABC có cạnh bằng a
Đặt AM=x, AN =y, x, y dương và bé hơn a
=> MB=a-x, NC=a-y
Theo bài ra ta có:
\(\frac{x}{a-x}+\frac{y}{a-y}=1\)
\(\Leftrightarrow-\frac{x}{a-x}-\frac{y}{a-y}=-1\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{a}{a-x}+1-\frac{a}{a-y}=-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a-x}+\frac{a}{a-y}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a-y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a-x+a-y}=\frac{4}{2a-\left(x+y\right)}\)
\(\Leftrightarrow x+y\le\frac{2a}{3}\)
Diện tích tam giác AMN:
\(S_{\Delta AMN}=\frac{1}{2}AM.AN.\sin\widehat{MAN}=\frac{1}{2}.xy.\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}.xy\le\frac{\sqrt{3}}{4}\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{\sqrt{3}}{16}\frac{4a^2}{9}=\frac{\sqrt{3}a^2}{36}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=\frac{a}{3}\)
Vậy AM=1/3AB, AN=1/3AC thì diện tích tam giác AMN lớn nhất bằng \(\frac{\sqrt{3}a^2}{36}\)
a, Xét tam giác AHB vuông tại H, đường cao MH
\(AH^2=AM.AB\)( hệ thức lượng ) (1)
Xét tam giác AHC vuông tại H, đường cao HN
\(AH^2=AN.AC\)( hệ thức lượng ) (2)
Từ (1) ; (2) suy ra : \(AM.AB=AN.AC\)(3)
b, Xét tam giác AMN và tam giác ACB ta có :
^A _ chung
\(\left(3\right)\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)
Vậy tam giác AMN ~ tam giác ACB ( c.g.c )
\(\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AC}\)(4)
Ta có : BC = HB + HC = 9 + 4 = 13 cm
Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH
* Áp dụng hệ thức : \(AC^2=HC.BC=9.13=117\Rightarrow AC=3\sqrt{13}\)cm
Theo định lí Pytago : \(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{169-\left(3\sqrt{13}\right)^2}=2\sqrt{13}\)cm
* Áp dụng hệ thức : \(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{2\sqrt{13}.3\sqrt{13}}{13}=6\)cm
lại có : \(AH^2=AM.AB\)cma => \(AM=\frac{36}{2\sqrt{13}}=\frac{18\sqrt{13}}{13}\)cm
Thay vào (4) ta được : \(\frac{MN}{13}=\frac{\frac{18\sqrt{13}}{13}}{3\sqrt{13}}=6\)cm
c, Lại có : \(AH^2=AN.AC\)cma => \(AN=\frac{36}{3\sqrt{13}}=\frac{12\sqrt{13}}{13}\)cm
Ta có : \(S_{AMN}=\frac{1}{2}AN.AM=\frac{1}{2}.\frac{12\sqrt{13}}{13}.\frac{18\sqrt{13}}{13}=\frac{108}{13}\)cm 2
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.2\sqrt{13}.3\sqrt{13}=39\)cm 2
Do \(S_{AMN}+S_{BMNC}=S_{ABC}\Rightarrow S_{BMNC}=S_{ABC}-S_{AMN}\)
\(=39-\frac{108}{13}=\frac{399}{13}\)cm2
