Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{1}{a+a+a+a+b+c}+\frac{1}{a+b+b+b+b+c}+\frac{1}{a+b+c+c+c+c}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{36}\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
MÌnh nghĩ đề phải là tìm GTLN chứ
Ta có: \(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}=2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+1}=\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{c+a}{c+a+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}}\)
Tương tự: \(\frac{1}{b+c+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+1\right)\left(c+a+1\right)}}\)
\(\frac{1}{c+a+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)}}\)
Nhân lại ta có: \(\frac{1}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}\ge\frac{8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{1}{8}\)
Dấu = khi a=b=c=1/4
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{b+ab}{2}\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{c+bc}{2}\left(2\right)\)
\(\frac{c+1}{a^2+1}\ge c+1-\frac{a+ca}{2}\left(3\right)\)
Từ: \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Lại có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Hay: \(3\left(ab+bc+ac\right)\le\left(a+b+c\right)^2=3^2=9\)
Vì vậy: \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}=\frac{3}{2}+3-\frac{9}{6}=3\)
\(\Rightarrow\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\)
\(\Rightarrow Min_P=3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
* Dũng kỹ thuật Cô-si ngược dấu
\(P=\left(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\right)+\left(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\right)\)
+ \(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}+b-\frac{bc^2}{c^2+1}+c-\frac{ca^2}{a^2+1}\)
\(\ge3-\left(\frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{2a}\right)=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
+ \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}+1-\frac{b^2}{b^2+1}+1-\frac{c^2}{c^2+1}\ge3-\left(\frac{a^2}{2a}+\frac{b^2}{2b}+\frac{c^2}{2c}\right)=3-\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Do đó: \(P\ge3\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Câu a : Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}=2a\\\frac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{b^2}{c}.c}=2b\\\frac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\frac{c^2}{a}.a}=2c\end{matrix}\right.\)
Cộng từng vế của BĐT ta thu được :
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\) ( đpcm )
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Em tham khảo nha:
P=\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}.\frac{c+1}{c}\)
P\(=\frac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}{abc}\)
P\(=\frac{abc+ab+bc+ca+a+b+c+1}{abc}\)
P\(=1+\frac{ab+bc+ca}{abc}+\frac{2}{abc}\)(1)
( vì a+b+c=1 nên a+b+c+1=2)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{ab.bc.ca}=3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\)Tương tự:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}\)
\(\Rightarrow abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\)
\(P=\left(1\right)\ge1+\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}+\frac{2}{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3}=1+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{2}{\frac{1}{27}}\)
( \(\frac{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=\sqrt[3]{\frac{a^2b^2c^2}{a^3b^3c^3}}=\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\))
P\(\ge1+54+\frac{9}{3\sqrt[3]{abc}}\)
P\(\ge55+\frac{9}{a+b+c}=55+\frac{9}{1}=64\)
Vậy GTNN của P là P=64 . Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cách 2:
Áp dụng BĐT Holder và BĐT AM-GM:
\(P\ge\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\ge\left(1+\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}}\right)^3=64\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cách 3:
Áp dụng BĐT AM -GM (Cô si):
\(P=\left(1+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}\right)\left(1+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3b}\right)\left(1+\frac{1}{3c}+\frac{1}{3c}+\frac{1}{3c}\right)\)
\(\ge64\sqrt[4]{\frac{1}{\left(27abc\right)^3}}\ge64\sqrt[4]{\frac{1}{\left(a+b+c\right)^9}}=64\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Chắc là thực dương chứ nhỉ?
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
Tương tự: \(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\) ; \(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{a+b+c}{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{2}\)
\(A_{min}=\frac{9}{2}\) khi \(a=b=c=1\)
#Chưa sửa được mạng nên mượn máy nhà hàng xóm vì lỡ hứa.
Từ giả thiết ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{c}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{2}{c}\Leftrightarrow c=\frac{2ab}{a+b}\)
Thay vào \(M\) , ta được biểu thức mới:
\(M=\frac{a+\frac{2ab}{a+b}}{2a-\frac{2ab}{a+b}}+\frac{b+\frac{2ab}{a+b}}{2b-\frac{2ab}{a+b}}\)\(=\frac{a^2+3ab}{2a^2}+\frac{b^2+3ab}{2b^2}=\frac{1}{2}+\frac{3a}{2b}+\frac{1}{2}+\frac{3b}{2a}\)
\(\Leftrightarrow M=1+\frac{3}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
(Đến đây EZ rồi)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm, ta có:
\(\frac{3}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge\frac{3}{2}.2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=3\)
\(\Rightarrow M\ge4\)
Dấu \(''=''\) xảy ra khi \(a=b=c\)
Bạn thiếu điều kiện nên ko loại được nghiệm thôi.
Do a, b, c> 0 nên x,y>0
Do đó khi biện luận pt trên, ko phải biện luận pt có nghiệm suông mà phải là "có ít nhất một nghiệm dương"
\(\frac{3}{2}\ge a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)
\(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1+1+1+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2b}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}\)
\(\Rightarrow P\ge343\sqrt[7]{\frac{1}{16^3\left(abc\right)^4}}\ge343\sqrt[7]{\frac{1}{16^3\left(\frac{1}{8}\right)^4}}=343\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
\(M=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c+3}\)
\(\ge\frac{3^2}{1+3}=\frac{9}{4}\)
=>MinM=9/4 khi a=b=c=1/3
sai rồi