Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Để mình hướng dẫn bằng lời nhé . Nếu đánh ra hết thì rất dài và không tốt cho cậu :
Đặt x= mẫu thứ nhất (1)
y=mẫu thứ hai (2)
z=mẫu thứ ba (3)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được .... Cậu tự tính cho tốt.
Sau đó rút c= x+y/2(@@@)
Tương tự với (2) và (3), (1) và (2)
Ta có b=x+z/2(@@)... a=y+z/2(@)
Cộng vế với vế của (@), (@@), (@@@) ta có
vế trái bằng \(\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{y+x}{2z}\)
Đặt 1/2 ra sau đó tách các phân số ra như sau
\(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}\)
Dễ dàng chuyển chúng sang BĐT Cauchy sẽ được kết quả cuối cùng là điều cần phải CM... Khó hiểu có thể hỏi lại
ai có thể giải ra thành bài luôn được ko, bạn ghi mình khồn hiểu
Đặt \(x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c\) , khi đó : \(\begin{cases}2a=y+z\\2b=x+z\\2c=x+y\end{cases}\)
Ta có : \(\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{c+a-b}+\frac{2c}{a+b-c}=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)
\(\ge2+2+2=6\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)
ta có \(\frac{a}{b+c}-1+\frac{b}{a+c}-1+\frac{c}{a+b}-1=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}-3\) vì a b c là cách cạnh của tam giác nên biểu thức trên >= 3
\(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)
\(=\frac{a^2}{ab+ac-a^2}+\frac{b^2}{ba+bc-b^2}+\frac{c^2}{ca+cb-c^2}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có \(\text{∑}\frac{3}{b+c-a}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}}\ge3\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức :
\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)
Bất đẳng thức được chứng minh
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng cộng mẫu:
\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Đặt \(x=b+c-a;\) \(y=c+a-b;\) và \(z=a+b-c\)
thì \(a=\frac{y+z}{2};\) \(b=\frac{x+z}{2};\) và \(c=\frac{x+y}{2}\)
Khi đó, vế trái của bất đẳng thức trên được quy về dưới dạng:
\(\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}=\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}+\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}\)
Do đó, áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương \(x,y,z\), ta được:
\(VT=\left(\frac{y}{2x}+\frac{x}{2y}\right)+\left(\frac{z}{2x}+\frac{x}{2z}\right)+\left(\frac{z}{2y}+\frac{y}{2z}\right)\ge2\sqrt{\frac{y}{2x}.\frac{x}{2y}}+2\sqrt{\frac{z}{2x}.\frac{x}{2z}}+2\sqrt{\frac{z}{2y}.\frac{y}{2z}}=3=VP\)
Vậy, \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\) \(\left(đpcm\right)\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\) \(\Leftrightarrow\) tam giác đó là tam giác đều.
\(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a=\frac{z+y}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{y+x}{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{y+x}{2z}=\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}+\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{y}{2z}+\frac{x}{2z}\)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge2.\sqrt{\frac{y}{2x}.\frac{x}{2y}}+2.\sqrt{\frac{z}{2x}.\frac{x}{2z}}+2.\sqrt{\frac{y}{2z}.\frac{z}{2y}}=1+1+1=3\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)
bạn tự c/m: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\left(b>a>0;c>0\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}>\frac{2a}{a+b+c};\frac{b}{c+a}< \frac{2b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)
Từ (1) và (2)
\(1< \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\)
đpcm
Do p là nửa chu vi tam giác nên \(2p=a+b+c\)
Ta có bổ đề sau: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)
Tương tự: \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a},\)\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}=4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.
Do a;b;c là 3 cạnh tam giác nên
\(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}}}\)
Đặt \(b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z\)
Gọi \(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)
\(\Rightarrow2A=\frac{\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(x+z\right)}{y}+\frac{\left(x+y\right)}{z}\)
\(=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\)
Rồi dùng Cô-si
\(\Rightarrow2A\ge6\)
\(\Leftrightarrow A\ge3\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c