K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

20 tháng 2 2018

do a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên:

c<a+b  => 2c<a+b+c  => 2c<2  => c<1

Tương tự ta cm được a<1; b<1

vì a<1 => 1-a >0

b<1 => 1-b >0

c<1  => 1-c>0

=>   (1-a)(1-b)(1-c)  > 0

=> 1- (a+b+c) +ab+bc+ac-abc >0

=>ab+ac+bc-1>abc  (a+b+c=0, chuyển vế đổi dấu)

=>2ab+2ac+2bc-2>2abc

Vậy a2+b2+c2+2abc < a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc-2= (a+b+c)2-2=4-2=2

Vậy => dpcm

29 tháng 1 2016

Kudo shinichi còn onl ko đó??

29 tháng 1 2016

Vô danh sách bạn bè là biết mà mokona

25 tháng 11 2017

Có a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác.

NV
17 tháng 2 2022

Do a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác

\(\Rightarrow a< b+c\Rightarrow2a< a+b+c=6\Rightarrow a< 3\)

Chứng minh tương tự ta được: \(b< 3;c< 3\)

\(\Rightarrow3-a>0;3-b>0,3-c>0\)

Do đó:

\(\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)\le\left(\dfrac{3-a+3-b+3-c}{3}\right)^3=\left(\dfrac{9-\left(a+b+c\right)}{3}\right)^3=1\)

\(\Leftrightarrow-abc+3\left(ab+bc+ca\right)-9\left(a+b+c\right)+27\le1\)

\(\Leftrightarrow-abc+3\left(ab+bc+ca\right)-27\le1\)

\(\Leftrightarrow abc\ge3\left(ab+bc+ca\right)-28\)

\(\Leftrightarrow2abc\ge6\left(ab+bc+ca\right)-56\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+6\left(ab+bc+ca\right)-56\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3\left(a+b+c\right)^2-56=52\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

NV
17 tháng 2 2022

BĐT vế phải:

Vẫn từ chứng minh trên, \(3-a>0;3-b>0,3-c>0\)

\(\Rightarrow\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)>0\)

\(\Leftrightarrow-abc+3\left(ab+bc+ca\right)-9\left(a+b+c\right)+27>0\)

\(\Leftrightarrow-abc+3\left(ab+bc+ca\right)-27>0\)

\(\Leftrightarrow abc< 3\left(ab+bc+ca\right)-27\)

\(\Leftrightarrow2abc< 6\left(ab+bc+ca\right)-54\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc< 3\left(a^2+b^2+c^2\right)+6\left(ab+bc+ca\right)-54\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc< 3\left(a+b+c\right)^2-54=54\) (đpcm)

26 tháng 1 2021

Từ gt suy ra a < b + c nên 2a < a + b + c = 2

\(\Rightarrow a< 1\).

Chứng minh tương tự: \(b< 1;c< 1\).

Do đó \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)< 0\Leftrightarrow abc< ab+bc+ca-1\) (Do a + b + c = 2)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca-1\right)=\left(a+b+c\right)^2-2=2\) (đpcm).

25 tháng 8 2018

a) Biến đổi biểu thức ban đầu tương đương: 

4abc > a[ a² - (b-c)²] +b[b² - (a-c)²] +c[c² - (a-b)²] 

<=> 4abc > a(a+b-c)(a+c-b) + b(b+c-a)(b+a-c) + c(c+b-a)(c+a-b) 

Đến đây thì đặt ẩn phụ kiểu quen thuộc rồi ;) 

Đặt a+b-c = x ; b+c-a =y ; c+a-b =z (x,y,z > 0 ) Thì a= (x +z)/2 ; b= (x+y/2) ; c= (y+z)/2 

Biểu thức trở thành: 

(x+y)(y+z)(z+x) > (x+z)xz + (x+y)xy + (y+z)yz 

Đơn giản rồi ; biểu thức này tương đương 2xyz > 0 (đúng với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác ;) 

*Mở rộng thêm: Còn chứng minh được a^3 +b^3 +c^3 +3abc >= a²(b+c) +b²(a+c) +c²(b+a) > a^3 +b^3 +c^3 +2abc với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác ;)