Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a}{b^2+bc+c^2}+\frac{b}{c^2+ca+a^2}+\frac{c}{a^2+ab+b^2}=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{bc^2+abc+ba^2}+\frac{c^2}{ca^2+abc+cb^2}\) (1)
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\left(1\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2+3abc}\)
Lại có: \(ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2+3abc=\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)\)
Thay vào -> dpcm
\(VT=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{c^2b+abc+a^2b}+\frac{c^2}{a^2c+abc+b^2c}\)
Áp dụng BĐT Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b\right)+abc+ac\left(a+c\right)+abc+bc\left(b+c\right)+abc}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{ab+bc+ac}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Chúc bạn học tốt !!!
(
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhh
Bài này sử dụng Cô-si ngược dấu:
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{a.\left(a^2+ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\)
có: \(\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\le\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab+ab}=\frac{a+b}{3}\)
=> \(-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge-\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab+ab}=-\frac{a+b}{3}\)
=> \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{a+b}{3}\)
Chứng minh tương tự:
=> \(A\ge a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=\frac{a+b+c}{3}\)
Cho a,b, c là các số thực dương. CMR:
a3a2+ab+b2 +b3b2+bc+c2 +c3c2+ac+a2 ≥a+b+c3
Áp dụng bđt AM-GM :
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2+1}{\left(a^2+1\right)\cdot4}}=1\)
Tương tự ta có :
\(\frac{1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{4}\ge1\)
\(\frac{1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{4}\ge1\)
Cộng từng vế ta có :
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+3}{4}\ge3\)
Áp dụng bđt quen thuộc : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac=3\)
Khi đó : \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge3-\frac{3+3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
bạn làm sai rồi . Khi \(a^2+b^2+c^2\ge3\) bạn chuyển vế thì nó không cùng dấu với bất đẳng thức
Có bất đẳng thức xy+zt≥x+zy+txy+zt≥x+zy+t với x,z≥0x,z≥0 ,y,t>0y,t>0
Giả sử cc lớn nhất trong các số a,b,ca,b,c thì c≥13c≥13
Do a,b,c≥0a,b,c≥0 nên
Ta có P2≥aa+1+bb+1+cc+1≥a+ba+b+2+cc+1P2≥aa+1+bb+1+cc+1≥a+ba+b+2+cc+1
Mà a+ba+b+2+cc+1−12=1−c3−c+c−12(c+1)=(1−c)(3c−1)(3−c)(2c+2)≥0
\(VT=\frac{ab}{ab+c}+\frac{ac}{ac+b}+\frac{bc}{bc+a}\)
\(=\frac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}+\frac{ac}{ac+\left(a+b+c\right)b}+\frac{bc}{bc+\left(a+b+c\right)a}\)
\(=\frac{ab}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\frac{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Cần chứng minh \(\frac{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2\ge6abc\)
BĐT cuối luôn đúng theo AM-GM