K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
25 tháng 2 2020

\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Làm tương tự và cộng lại

\(\Rightarrow P\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge a+b+c-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=3-\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

25 tháng 2 2020

Ta có : \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a+ab^2-ab^2}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)}{1+b^2}-\frac{ab^2}{1+b^2}\)

\(=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có : \(1+b^2\ge2\sqrt{b^2}=2b\)

\(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)

\(\Rightarrow a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)

Chứng minh tương tự ta được :

\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\)

\(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Cộng theo từng vế của 3 BĐT trên ta được

\(VT\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Ta có BĐT : \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\left(1\right)\)với x , y , z dương

Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3xy+3yz+3zx\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge3xy+3yz+3zx\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)

Áp dụng BĐT (1) ta được : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)

Khi đó : \(VT\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Chúc bạn học tốt !!

2 tháng 1 2019

Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a+ab^2-ab^2}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)}{1+b^2}-\frac{ab^2}{1+b^2}\)

                                                               \(=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\)

Áp dụng bđt Cô-si ta có: \(1+b^2\ge2\sqrt{b^2}=2b\)

\(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)

\(\Rightarrow a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)

C/m tương tự \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\)

                     \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Cộng từng vế của 3 bđt trên lại ta đc

\(VT\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Ta có bđt: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)(1) với x , y , z dương 

Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3xy+3yz+3zx\)

                      \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge3xy+3yz+3zx\)

                      \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\ge0\)

                    \(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

                    \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Áp dụng bđt (1) ta đc \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)

Khi đó: \(VT\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" <=> a = b = c = 1

Vậy .............

30 tháng 1 2017

\(GT\Rightarrow\)\(\frac{1}{a+2}+\frac{3}{b+4}\leq1-\frac{2}{c+3}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(1-\frac{2}{c+3}\geq\frac{1}{a+2}+\frac{3}{b+4}\geq2\sqrt{\frac{3}{(a+2)(b+4)}}\)

Tương tự ta có:

\(1-\frac{1}{a+2}\geq\frac{3}{b+4}+\frac{2}{c+3}\geq2\sqrt{\frac{6}{(c+3)(b+4)}}\)

\(1-\frac{3}{b+4}\geq\frac{1}{a+2}+\frac{2}{c+3}\geq2\sqrt{\frac{6}{(c+3)(a+2)}}\)

Nhân theo vế ta được: \((1-\frac{2}{c+3})(1-\frac{1}{a+2})(1-\frac{3}{b+4})\geq \frac{48}{(a+2)(b+4)(c+3)}\)

\(\Leftrightarrow (\frac{c+1}{c+3})(\frac{a+1}{a+2})(\frac{b+1}{b+4})\geq\frac{48}{(a+2)(b+4)(c+3)}\)

\(\Leftrightarrow(a+1)(b+1)(c+1)\geq48\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=1;c=3;b=5\)

30 tháng 1 2017

\(Gt\Leftrightarrow 1-\frac{1}{a+2}+1-\frac{3}{b+4}+\frac{c+1}{c+3}\geq 2\\\Leftrightarrow \frac{a+1}{a+2}+\frac{b+1}{b+4}+\frac{c+1}{c+3}\geq 2\)

Đặt \((a+1;b+1;c+1)\rightarrow (x;y;z)\), vậy cần tìm GTNN của \(Q=xyz\)

Ta có: \(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+3}+\frac{z}{z+2}\geq 2\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{x}{x+1}\geq 1-\frac{y}{y+3}+1-\frac{z}{z+2}=\frac{3}{y+3}+\frac{2}{z+2}\geq 2\sqrt{\frac{6}{(y+3)(z+2)}}\)

\(\frac{y}{y+3}\geq 1-\frac{x}{x+1}+1-\frac{z}{z+2}=\frac{1}{x+1}+\frac{2}{z+2}\geq 2\sqrt{\frac{2}{(x+1)(z+2)}}\)

\(\frac{z}{z+2}\geq 1-\frac{x}{x+1}+1-\frac{y}{y+3}= \frac{1}{x+1}+\frac{3}{y+3}\geq 2\sqrt{\frac{3}{(x+1)(y+3)}}\)

Nhân theo vế ta có:\(\frac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+3\right)\left(z+2\right)}\ge\frac{48}{\left(x+1\right)\left(y+3\right)\left(z+2\right)}\Leftrightarrow Q\ge48\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x+1}=\frac{3}{y+3}=\frac{2}{z+2} & & \\ \frac{1}{a+2}+\frac{3}{b+4}=\frac{c+1}{c+3} & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=1;b=5;c=3\)

BĐT Bunhiacopxky em chưa học cô ạ

Cô cong cách nào không ạ

AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 6 2020

Nguyễn Thị Nguyệt Ánh:

Vậy thì bạn có thể chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ thông qua BĐT Cô-si:

Áp dụng BĐT Cô-si:

$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$

$xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

Nhân theo vế:

$(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz$

$\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \frac{9}{x+y+z}$
hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Xét \(\left(a^2+\frac{1}{b+c}\right)\left(4^2+1^2\right)\ge\left(4a+\frac{1}{\sqrt{b+c}}\right)^2\)

=> \(\sqrt{a^2+\frac{1}{b+c}}\ge\frac{4a+\frac{1}{\sqrt{b+c}}}{\sqrt{17}}\)

Tương tự => \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{b^2+\frac{1}{c+a}}\ge\frac{4b+\frac{1}{\sqrt{c+a}}}{\sqrt{17}}\\\sqrt{c^2+\frac{1}{a+b}}\ge\frac{4c+\frac{1}{\sqrt{a+b}}}{\sqrt{17}}\end{matrix}\right.\)

=> A \(\ge\frac{4\left(a+b+c\right)+\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}}{\sqrt{17}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{a+b}}=\frac{4}{4.\sqrt{a+b}}\)

\(\sqrt{\left(a+b\right).4}\le\frac{a+b+4}{2}\) => \(4\sqrt{a+b}\le a+b+4\)

=> \(\frac{1}{\sqrt{a+b}}\ge\frac{4}{a+b+4}\)

Tương tự => \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{b+c}}\ge\frac{4}{b+c+4}\\\frac{1}{\sqrt{c+a}}\ge\frac{4}{c+a+4}\end{matrix}\right.\)

=> \(\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}\) \(\ge4.\left(\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}+\frac{1}{a+b+4}\right)\)

\(\ge4.\frac{9}{2a+2b+2c+12}=\frac{3}{2}\)

=> \(A\ge\frac{4.6+\frac{3}{2}}{\sqrt{17}}=\frac{3.\sqrt{17}}{2}\)

20 tháng 2 2019

Ta có: 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow b=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}=\frac{2ac}{a+c}\)

Thế \(b=\frac{2ac}{a+c}\) vào M, ta được:

 \(M=\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}+\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{1+\frac{2c}{a+c}}{2-\frac{2c}{a+c}}+\frac{1+\frac{2a}{a+c}}{2-\frac{2a}{a+c}}\)

\(M=\frac{\left(a+c\right)+2c}{2\left(a+c\right)-2c}+\frac{\left(a+c\right)+2a}{2\left(a+c\right)-2a}=\frac{a+3c}{2a}+\frac{3a+c}{2c}\)

\(M+2=\frac{a+3c}{2a}+1+\frac{3a+c}{2c}+1=\frac{3a+3c}{2a}+\frac{3a+3c}{2c}=\frac{3}{2}\left(a+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

\(M+2=\frac{3}{2}\left(1+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+1\right)=\frac{3}{2}\left(2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)

Xét \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\Leftrightarrow...\)(bạn tự biến đổi tương đương để chứng minh nó nhé)

(ĐK xảy ra dấu "=": a=c)

Do đó \(M+2=\frac{3}{2}\left(1+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+1\right)=\frac{3}{2}\left(2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(2+2\right)=6\Leftrightarrow M\ge4\)

Vậy GTNN của \(M=4\)khi \(a=c\Leftrightarrow\frac{2}{b}=\frac{2}{a}\Leftrightarrow b=a=c\)

Chúc bạn học tốt!

P/S: bài này khó thật đấy! Mình chuyên toán 9 mà giải hết nửa tiếng mới xong :D!

30 tháng 7 2020

1. Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engle, ta có :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{9}{a+b+c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

30 tháng 7 2020

\(\frac{1}{3}\left(a^3+b^3+a+b\right)+ab\le a^2+b^2+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+1-ab\right)+ab\le a^2+b^2+1\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)-ab\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1-ab\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)

Vì a, b dương \(\Rightarrow a^2+b^2+1-ab>0\Rightarrow\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\Leftrightarrow a+b\le3\)

\(M=\frac{a^2+8}{a}+\frac{b^2+2}{b}=a+\frac{8}{a}+b+\frac{2}{b}=2a+2b+\frac{8}{a}+\frac{2}{b}-\left(a+b\right)\ge8+4-3=9\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho a ; b dương

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2;b=1\)

19 tháng 7 2021

\(P=\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}+2-2=\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-2\)

\(=\left(\frac{a^2}{b^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)+\left(\frac{b^2}{c^3}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{c^2}{a^3}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)-2\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương: 

\(\frac{a^2}{b^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{b^3}.\frac{1}{a}.\frac{1}{a}}=\frac{3}{b}\)

\(\frac{b^2}{c^3}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge3\sqrt[3]{\frac{b^2}{c^3}.\frac{1}{b}.\frac{1}{b}}=\frac{3}{c}\)

\(\frac{c^2}{a^3}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{c^2}{a^3}.\frac{1}{c}.\frac{1}{c}}=\frac{3}{a}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{3}{b}+\frac{3}{c}+\frac{3}{a}-2=3-2=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)

19 tháng 7 2021

Đặt \(\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z\) thì

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\P=\frac{y^3}{x^2}+\frac{z^3}{y^2}+\frac{x^3}{z^2}\end{cases}}\)

Ta có:

\(\frac{x^3}{z^2}+z+z\ge3x,\frac{y^3}{x^2}+x+x\ge3y,\frac{z^3}{y^2}+y+y\ge3z\)

\(\Rightarrow\frac{x^3}{z^2}\ge3x-2z,\frac{y^3}{x^2}\ge3y-2x,\frac{z^3}{y^2}\ge3z-2y\)

\(\Rightarrow P\ge3x-2z+3y-2x+3z-2y=x+y+z=1\)

11 tháng 9 2019

1a

\(A=\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\ge\frac{6}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}\)

\(\ge10+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}=10+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Vay \(A_{min}=\frac{161}{16}\)

11 tháng 9 2019

1b.\(B=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}}{4}\)

\(\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right]^2}{8}\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{32}=6+\frac{1}{128}=\frac{769}{128}\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Vay \(B_{min}=\frac{769}{128}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)