![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a+b=x\\a+c=y\\b+c=z\end{cases}}\)
Do a+b+c = 1 \(\Leftrightarrow x+y+z=2\)
Ta có :
\(\text{Sima}\frac{a+bc}{b+c}=\text{Sima}\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}=\text{Sima}\frac{a^2+ab+ac+bc}{b+c}=\text{Sima}\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}\)
\(=\text{Sima}\frac{xy}{z}=\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\)
Ta có : \(2\text{Sima}\frac{xy}{z}=\left(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\right)+\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\right)+\left(\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\right)\)
\(\ge2x+2y+2z\)
\(\Rightarrow\text{Sima}\frac{xy}{z}\ge x+y+z=2\) hay \(\text{Sima}\frac{a+bc}{b+c}\ge2\)(đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=\left(a^{2012}-a^{2008}\right)+\left(b^{2012}-b^{2008}\right)+\left(c^{2012}-c^{2008}\right)\)
\(=a^{2008}\left(a^4-1\right)+b^{2008}\left(b^4-1\right)+c^{2008}\left(c^4-1\right)\)
- Chứng minh A chia hết cho 2 : Nếu a,b,c là các số lẻ thì a4-1 , b4-1 , c4-1 là các số chẵn
=> A là số chẵn => A chia hết cho 2
Nếu a,b,c là các số chẵn thì dễ thấy A là số chẵn => A chia hết cho 2
Vậy A chia hết cho 2
- Chứng minh A chia hết cho 5 :
Xét số tự nhiên n không chia hết cho 5 , chứng minh n4-1 chia hết cho 5
Ta có : \(n=5k\pm1,n=5k\pm2\)với k là số tự nhiên
\(n^2\)có một trong hai dạng \(n^2=5k+1\)hoặc \(n^2=5k+4\)
\(n^4\)có dạng duy nhất : \(n^4=5k+1\Rightarrow n^4-1⋮5\)
Áp dụng với n = a,b,c được A chia hết cho 5
- Chứng minh A chia hết cho 3
Xét với n là số chính phương thì n2 chia 3 dư 0 hoặc 1
Do đó, nếu n2 chia 3 dư 0 thì dễ thấy A chia hết cho 3 với n = a,b,c
Nếu n2 chia 3 dư 1 thì n4 chia 3 dư 1 => n4-1 chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 với n = a,b,c
Vậy n chia hết cho 2,3,5 mà (2,3,5) = 1 => A chia hết cho 30
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
BĐT \(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a+b+c+ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2+\frac{1}{4}\left(y+z-x\right)^2+a^2+b^2+c^2-\left(a+b+c\right)\ge0\)
Có: \(VT\ge\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2+\frac{1}{4}\left(y+z-x\right)^2+\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\left(a+b+c\right)\right]\ge0\)(chú ý: \(\left(a+b+c\right)^2=\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\left(a+b+c\right)=3\left(a+b+c\right)\))
Ta có đpcm.
Có cách khác ^_^ mới nghĩ ra
BĐt <=> \(P\left(a,b,c\right)=a^2+b^2+c^2-\frac{1}{2}\left(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge0\)
Không mất tính tổng quát , giả sử : \(a=min\left\{a,b,c\right\}\Rightarrow t=\sqrt{bc}\ge1\)
=> Chứng minh: \(P\left(a,b,c\right)\ge P\left(a,t,t\right)\)
Thật vậy , \(P\left(a,b,c\right)-P\left(a,t,t\right)=\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\left[\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2-\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{bc}\right)\right]\)
\(\ge\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\left[4-\frac{1}{2}\left(1+1\right)\right]\ge0\)
mặt khác: \(P\left(a,t,t\right)=P\left(\frac{t}{t^2},t,t\right)=\frac{\left(t-1\right)^2\left(3t^4+4t^3+5t^2+4t+2\right)}{2t^4}\ge0\)
=> BĐT được chứng minh . Đt xảy ra<=> a=b=c=1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Sigma CTV, mk ko hiểu lắm. Bn có thể giải ra chi tiết theo cách lp 8 cho mk dễ hiểu đc ko?? Cám ơn bn rất nhiều
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(VT=\dfrac{a}{2b+c}+\dfrac{b}{2c+a}+\dfrac{c}{2a+b}\)
\(VT=\dfrac{a^2}{2ab+ac}+\dfrac{b^2}{2bc+ab}+\dfrac{c^2}{2ac+bc}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Này Nguyễn Việt Lâm Giáo viên, cái dòng số 3 là sao vậy? Bn có thể giải thích rõ dc ko??
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo AM-GM cho 2 số , ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
Nhân vế theo vế
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.\frac{2}{\sqrt{ab}}=4\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\ge\frac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{a+b}\)
giả sử a/b>=2
<=>(a^2+b^2)/ab>=2
<=>a^2+b^2>=2ab
<=>a^2-2ab+b^2>=2ab-2ab
<=>(a-b)^2>=0
vậy điều giả sử là đúng.
Chúc bạn học giỏi!