Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
trong \(1\) tam giác , ta luôn có :
\(b-c< a\)
\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2< a^2\)
\(\Leftrightarrow b^2-2bc+c^2< a^2\)
\(\Leftrightarrow b^2+c^2-a^2< 2bc\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(b^2+c^2-a^2\right)^2< \left(2bc\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2< 0\left(đpcm\right)\)
a: \(A=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2\)
\(=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-\left(2bc\right)^2\)
\(=\left(b^2-2bc+c^2-a^2\right)\left(b^2+2bc+c^2-a^2\right)\)
\(=\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]\left[\left(b-c\right)^2-a^2\right]\)
\(=\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)\)
b: a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
=>b+c>a và a+b>c và a+c>b
=>b+c-a>0 và a+b-c>0 và a+c-b>0
=>b+c-a>0 và b-(c+a)<0 và a+b-c>0
=>(b+c-a)[b-(c+a)][a+b-c](a+b+c)<0
=>A<0
Ta có: (b^2 +c^2 -a^2)^2 -4b^2 .c^2
=(b^2 +c^2 -a^2)^2 -(2bc)^2
=(b^2 +c^2 -a^2 -2bc)(b^2 +c^2 -a^2 +2bc)
=(b^2 +c^2 -2bc -a^2) (b^2 +c^2 +2bc -a^2)
=[ (b-c)^2 -a^2] [(b+c)^2 -a^2]
=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta được: b-c-a<0 ,b-c+a>0 ,b+c-a>0 và b+c+a>0
Do đó: (b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)<0
Vậy (b^2 +c^2 -a^2)- 4b^2 .c^2 <0
Chúc bạn học tốt.
Lời giải:
a)
\(A=(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2\)
\(A=(b^2+c^2-a^2)^2-(2bc)^2\)
\(A=(b^2+c^2-a^2-2bc)(b^2+c^2-a^2+2bc)\)
\(A=[(b-c)^2-a^2][(b+c)^2-a^2]\)
\(A=(b-c+a)(b-c-a)(b+c-a)(b+c+a)\)
b)
Viết lại: \(A=-(b+a-c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b+c)\)
Nếu $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác:
Hiển nhiên \(b+c+a>0\)
\(b+a>c, b+c>a, a+c>b\)
\(\Rightarrow b+a-c, c+a-b, b+c-a>0\)
Do đó: \((b+a-c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b+c)>0\)
\(\Rightarrow A=-(b+a-c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b+c)< 0\)
Tức là A nhận giá trị âm (đpcm)
=(b2+c2-a2-2bc)(b2+c2-a2+2bc)
=[(b2-2ab+c2)-a2][(b2+2bc+c2)-a2]
= [(b-c)2-a2][(b+c)2-a2]
=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)
\(M=4b^2c^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)^2=\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right)\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)\)
\(=\left[a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)\right]\left[\left(b^2+2bc+c^2\right)-a^2\right]\)
\(=\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right]\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]=\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)\)
Vì a,b,c là 3 cạnh của 1 t/g nên
a+c>b => a-b+c >0
a+b>c => a+b-c > 0
b+c>a => b+c-a > 0
b+c+a > 0
=> M > 0
\(b^2+c^2-a^2-2bc=\left(b^2-2bc+c^2\right)-a^2=\left(b-c\right)^2-a^2=\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)\)
\(=\left(b-\left(c+a\right)\right)\left(b-\left(c-a\right)\right)\)
vì \(b< c+a;b>c-a\)(bđt tam giác )\(\Rightarrow b-\left(c+a\right)< 0;b-\left(c-a\right)>0\Rightarrow\left(b-\left(c+a\right)\right)\left(b-\left(c-a\right)\right)< 0\)
\(\Rightarrow b^2+c^2-a^2-2bc< 0\Rightarrow b^2+c^2-a^2< 2bc\)\(\Rightarrow b^2+c^2-a^2< \left(2bc\right)^2=4b^2c^2\)
\(\Rightarrow A=\left(b^2+c^2-a^2\right)-4b^2c^2< 0\)