Question

[Phạm Nguyễn Hoàng Nhi]

Cho △ABC đều, trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE = BC

a) Chứng minh rằng: △ADE cân.

b) Tính số đo các góc của △ADE.

c) Kẻ BM ⊥ AD, CN ⊥ AE ( M∈ AD, N∈ AE ). Chứng minh rằng BM = CN.

d) Gọi O là giao điểm của BM và CN. Hỏi tam giác OBC là tam giác gì, vì sao?

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC đều)

nên \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Xét ΔABD và ΔACE có

AB=AC(ΔABC đều)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)(cmt)

BD=CE(gt)

Do đó: ΔABD=ΔACE(c-g-c)

⇒AD=AE(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔADE có AD=AE(cmt)

nên ΔADE cân tại A(định nghĩa tam giác cân)

b) Ta có: BD=CE=BC(gt)

mà AB=AC=BC(do ΔABC đều)

nên BD=CE=BC=AB=AC

Xét ΔABD có AB=BD(cmt)

nên ΔABD cân tại B(định nghĩa tam giác cân)

Ta có: ΔABC đều(gt)

nên \(\widehat{BAC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60^0\)(số đo của một góc trong ΔABC đều)

Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^0\)(hai góc kề bù)

hay \(60^0+\widehat{ABD}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=180^0-60^0=120^0\)

Ta có: ΔABD cân tại B(cmt)

⇒\(\widehat{ADB}=\frac{180^0-\widehat{ABD}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔABD cân tại B)

hay \(\widehat{ADB}=\frac{180^0-120^0}{2}=30^0\)

Ta có: ΔADE cân tại A(cmt)

⇒\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\)(hai góc ở đáy)

mà \(\widehat{ADE}=30^0\)(\(\widehat{ADB}=30^0\),E∈BD)

nên \(\widehat{AED}=30^0\)

Ta có: ΔADE cân tại A(cmt)

⇒\(\widehat{DAE}=180^0-2\cdot\widehat{ADE}\)(số đo của góc ở đỉnh trong ΔADE cân tại A)

hay \(\widehat{DAE}=180^0-2\cdot30^0=120^0\)

Vậy: \(\widehat{AED}=30^0\); \(\widehat{ADE}=30^0\); \(\widehat{DAE}=120^0\)

c) Xét ΔBMD vuông tại M và ΔENC vuông tại N có

DB=CE(gt)

\(\widehat{MBD}=\widehat{NEC}\)(hai góc ở đáy trong ΔADE cân tại A)

Do đó: ΔBMD=ΔENC(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒BM=CN(hai cạnh tương ứng)

d) Xét ΔDMB vuông tại M và ΔAMB vuông tại M có

BD=BA(cmt)

BM là cạnh chung

Do đó: ΔDMB=ΔAMB(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒\(\widehat{DBM}=\widehat{ABM}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{DBM}+\widehat{ABM}=\widehat{ABD}=120^0\)(tia BM nằm giữa hai tia BD,BA)

nên \(\widehat{DBM}=\frac{\widehat{ABD}}{2}=\frac{120^0}{2}=60^0\)

Ta có: \(\widehat{DBM}=\widehat{CBO}\)(hai góc đối đỉnh)

mà \(\widehat{DBM}=60^0\)(cmt)

nên \(\widehat{CBO}=60^0\)

Ta có: ΔABD=ΔACE(cmt)

⇒\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{ABD}=120^0\)(cmt)

nên \(\widehat{ACE}=120^0\)

Xét ΔACN vuông tại N và ΔENC vuông tại N có

AC=CE(cmt)

CN là cạnh chung

Do đó: ΔACN=ΔENC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒\(\widehat{ACN}=\widehat{NCE}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{ACN}+\widehat{NCE}=\widehat{ACE}=120^0\)

nên \(\widehat{NCE}=\frac{120^0}{2}=60^0\)

Ta có: \(\widehat{NCE}=\widehat{BCO}\)(hai góc đối đỉnh)

mà \(\widehat{NCE}=60^0\)(cmt)

nên \(\widehat{BCO}=60^0\)

Xét ΔOBC có

\(\widehat{CBO}=60^0\)(cmt)

\(\widehat{BCO}=60^0\)(cmt)

Do đó: ΔOBC đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

Answer 2

[Ctuu]

Hình bạn tự vẽ nha!

a) Do tam giác ABC đều

\(\Rightarrow\)ABC=ACB=BAC=60 (độ)

Ta có:ABC+ABD=180 độ (kề bù)

ACB+ACE=180 độ (kề bù)

mà ABC=ACB (do \(\Delta\)ABC đều)

Suy ra:ABD=ACE

Xét tam giác ABD và ACE có:

BD=CE (gt)

ABD=ACE (CMT)

AB=AC (vì\(\Delta\)ABC đều)

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)ABD=\(\Delta\)ACE (c.g.c)

\(\Rightarrow\)AD=AE (hai cạnh t/ứ)

Suy ra:Tam giác ADE cân tại A