![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : \(\frac{2y+2z-x}{a}=\frac{2z+2x-y}{b}=\frac{2x+2y-z}{c}\)(sửa lại đề) (1)
=> \(\frac{2y+2z-x}{a}=\frac{4b+4x-2y}{2b}=\frac{4x+4y-2z}{2c}\)
= \(\frac{4z+4x-2y+4x+4y-2z-2y-2z+x}{2b+2c-a}=\frac{9x}{2b+2c-a}\)(dãy tỉ số bằng nhau) (2)
Từ (1) => \(\frac{4y+4z-2x}{2a}=\frac{2z+2x-y}{b}=\frac{4x+4y-2z}{2c}\)
= \(\frac{4x+4y-2z+4y+4z-2x-2z-2x+y}{2c+2a-b}=\frac{9y}{2c+2a-b}\)(dãy tỉ số bằng nhau) (3)
Từ (1) có : \(\frac{4y+4z-2x}{2a}=\frac{4z+4x-2y}{2b}=\frac{2x+2y-z}{c}=\frac{4y+4z-2x+4z+4x-2y-2x-2y+z}{2a+2b-c}\)\(=\frac{9z}{2a+2b-c}\)(dãy tỉ số bằng nhau) (4)
Từ (2) ; (3) ; (4) => điều phải chứng minh
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a/2b+c=b/2c+a=c/2a+b
=>2b+c/a=2c+a/b=2a+b/c ( vì a,b,c > 0 )
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
2b+c/a=2c+a/b=2a+b/c = 2b+c+2c+a+2a+b/a+b+c = 3
=> 2b+c/a+2c+a/b+2a+b/c = 3+3+3 = 9
k mk nha
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng t/c của dãy tỉ số = nhau ta có:
a/a+2b = b/b+2c = c/c+2a = (a+b+c)/(a+2b)+(b+2c)+(c+2a) = (a+b+c)/3(a+b+c) = 1/3
a/a+2b = 1/3 <=> 3a = a+2b
<=> 2a = 2b <=> a = b
Tương tự ta cũng có: b = c
Như vậy a = b = c
=> a + b + c = 3a chia hết cho 3 (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
áp dụng cái này:
a²/x + b²/y + c²/z +d²/t ≥ (a + b +c +d)²/(x + y + z + t) (wen thuộc)
1/a + 1/b + 1/b + 1/c ≥ 16/(a + 2b +c)
1/a + 1/b + 1/c + 1/c ≥ 16/(a + b +2c)
1/a + 1/a + 1/b + 1/c ≥ 16/(2a + b +c)
Cộng 3 vế lại:
1/a + 1/b +1/c ≥ 4[1/(a+2b+c) + 1/(b+2c+a) + 1/(c+2a+b)]
⇔ ¼ (1/a + 1/b +1/c) ≥ 1/(a+2b+c) + 1/(b+2c+a) + 1/(c+2a+b)
⇒ ½ (1/a + 1/b +1/c) ≥ ¼ (1/a + 1/b +1/c) ≥ 1/(a+2b+c) + 1/(b+2c+a) + 1/(c+2a+b)
⇔ ½ (1/a + 1/b +1/c) ≥ 1/(a+2b+c) + 1/(b+2c+a) + 1/(c+2a+b)
Dấu = xra khi a = b = c và 1/a + 1/b +1/c = 0
⇒ dấu = không xảy ra.
⇒ ½ (1/a + 1/b +1/c) > 1/(a+2b+c) + 1/(b+2c+a) + 1/(c+2a+b)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Áp dụng TCDTSBN:
$a+b+c=\frac{a+2b-c}{c}=\frac{b+2c-a}{a}=\frac{c+2a-b}{b}=\frac{a+2b-c+b+2c-a+c+2a-b}{c+a+b}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c=2\\ a+2b-c=2c\\ b+2c-a=2a\\ c+2a-b=2b\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c=2\\ a+2b=3c\\ b+2c=3a\\ c+2a=3b\\ \end{matrix}\right.\)
Có:
$a+2b=3c=3(2-a-b)=6-3a-3b$
$\Rightarrow 4a+5b=6(1)$
$b+2c=3a$
$\Rightarrow b+2(2-a-b)=3a$
$\Rightarrow 4-2a-b=3a$
$\Rightarrow 5a+b=4(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow 5(5a+b)-(4a+5b)=14$
$\Rightarrow 21b=14\Rightarrow b=\frac{2}{3}$
$5a=4-b=4-\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\Rightarrow a=\frac{2}{3}$
$c=2-a-b=2-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)