K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

18 tháng 12 2019

Ta có:

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\left(a,b,c\ne0\right).\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2.\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}.\)

\(\Rightarrow M=\frac{1}{2}.\)

Vậy \(M=\frac{1}{2}.\)

Chúc bạn học tốt!

11 tháng 10 2015

1/ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1=>a=b=c\)

2/ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có \(\frac{a}{2b+c}=\frac{b}{2c+a}=\frac{c}{2a+b}=\frac{a+b+c}{3a+3b+3c}=\frac{1}{3}\)

3/ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có \(\frac{a}{b}=\frac{b-2011c}{c}=\frac{2012c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1=>a=b\)

15 tháng 12 2016

áp dụng dbt cosi cho 2 số:\(\frac{a^3}{b^2}\)va b ta duoc :

\(\frac{a^3}{b^2}\)+a\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{a^3}{b^2}.a}\)=2\(\frac{a^2}{b}\)

CMTT:\(\frac{b^3}{c^2}\)+b\(\ge\)2\(\frac{b^2}{c}\)

\(\frac{c^3}{a^2}\)+c\(\ge\)2\(\frac{c^2}{a}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{a^3}{b^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)+\(\frac{c^3}{a^2}\)+(a+b+c)\(\ge\)2(\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\))

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^3}{b^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)+\(\frac{c^3}{a^2}\)\(\ge\)2(\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\)) - (a+b+c)           (1)

Ap dụng bdt cosi cho các số dương , ta được:

\(\frac{a^2}{b}\)+\(b\)\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}\)=2a

CMTT: \(\frac{b^2}{c}\)+c\(\ge\)2b

\(\frac{c^2}{a}\)+a\(\ge\)2c

\(\Rightarrow\)\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\)+(a+b+c) \(\ge\)2(a+b+c)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\)\(\ge\)a+b+c 

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\) _ (a + b + c )  \(\ge\)0

Do Đó:TỪ (1) ta co : \(\frac{a^3}{b^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)\(\ge\)(\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\) )

29 tháng 5 2019

Xét hiệu hai vế:

BĐT \(\Leftrightarrow\left(\frac{a^3}{b^2}-\frac{a^2b}{b^2}\right)+\left(\frac{b^3}{c^2}-\frac{b^2c}{c^2}\right)+\left(\frac{c^3}{a^2}-\frac{c^2a}{a^2}\right)-\left(a+b+c-b-c-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^3}{b^2}-\frac{a^2b}{b^2}\right)+\left(\frac{b^3}{c^2}-\frac{b^2c}{c^2}\right)+\left(\frac{c^3}{a^2}-\frac{c^2a}{a^2}\right)-\left[\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b^2}\left(a-b\right)-\left(a-b\right)\right)+\left(\frac{b^2}{c^2}\left(b-c\right)-\left(b-c\right)\right)+\left(\frac{c^2}{a^2}\left(c-a\right)-\left(c-a\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{b^2}+\frac{\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2}{c^2}+\frac{\left(c+a\right)\left(c-a\right)^2}{a^2}\ge0\)

BĐT này đúng với mọi a,b,c > 0 nên ta có Q.E.D

Dấu "=" xảy ra khi a =b =c

P/s: Toán 7 gì mà khó thế nhỉ??Mình cũng không chắc đâu nha!

27 tháng 7 2019

#)Góp ý :

dao xuan tung đề lỗi ak bn ?

a) vô lí vì \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
 

27 tháng 7 2019

Ko phải đâu hai đề khác nhau nha

20 tháng 9 2017

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\) \(=\frac{a+b+c}{b+c+a}=\frac{1}{1}=1\)(với điều kiện a+b+c\(\ne\)0)

\(\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b\)(1)

\(\frac{b}{c}=1\Rightarrow b=c\)(2) 

Từ (1) và (2) có : a = b ; b = c

\(\Rightarrow\) a = b = c (đpcm)

Chúc bn hc giỏi!