KT
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TT
0
KT
2
NN
18 tháng 10 2020
\(C=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\)
Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\) Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu ta có:
\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{1}=4\)
Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\)Áp dụng bđt Cô si ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{ab}\le1\)\(\Rightarrow\left(2\sqrt{ab}\right)^2\le1\)
\(\Leftrightarrow4ab\le1\)\(\Leftrightarrow2ab\le\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\frac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow C=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge4+2=6\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(minC=6\)\(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
PN
18 tháng 10 2020
bài này đã có rất nhiều bạn hỏi rồi
Ta có hai bất đẳng thức phụ quen thuộc sau : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(*) ; \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)(**)
BĐT(*) \(< =>\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}< =>x^2+2xy+y^2\ge4xy< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng)
BĐT(**)\(< =>x^2+2xy+y^2\ge4xy< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng
Lại có \(C=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\)
Sử dụng bất đẳng thức phụ (*) : \(C\ge\frac{1}{2ab}+\frac{4}{a^2+2ab+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2ab}+4\)
Sử dụng bất đẳng thức phụ (**) : \(\frac{1}{2ab}+4\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}+4=2+4=6\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của C = 6 đạt được khi a = b = 1/2
GT
1
NN
30 tháng 8 2020
Chứng minh bđt phụ: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (1)
Ta có:\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng với mọi \(a,b>0\))
Đặt \(A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{5}{ab}+ab\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{9}{2ab}+ab\)
Áp dụng bđt (1) ta được: \(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{4^2}=\frac{1}{4}\)
Áp dụng bđt Cô-si với \(\frac{9}{2ab}+ab\)ta được: \(\frac{9}{2ab}+ab\ge2\sqrt{\frac{9}{2ab}.ab}=2.\sqrt{\frac{9}{2}}=\sqrt{4.\frac{9}{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{4}+3\sqrt{2}\)
Vậy \(minA=3\sqrt{2}+\frac{1}{4}\)
14 tháng 2 2016
\(S=ab+\frac{1}{ab}=16ab+\frac{1}{ab}-15ab\ge8-15ab\) (1)
\(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow-15ab\ge-\frac{15}{4}\Leftrightarrow8-15ab\ge8-\frac{15}{4}=\frac{17}{4}\)
VẬy GTNN của S 17/4 tại a = b = 1/2
NH
1
3 tháng 10 2017
Q=\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{7}{ab+bc+ac}\)
ap dung bdt cauchy-schwarz dang engel ta co
\(Q\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+ab+ac+bc}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)
=\(\frac{3^2}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{ab+bc+ac}\) \(\ge3^2+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=9+21=30\)
dau = xay ra khi a=b=c=1/3
TM
2 tháng 7 2017
Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\ge2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{b}{ac}}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge2\sqrt{\frac{b}{ac}.\frac{c}{ab}}=\frac{1}{a}\)
\(\frac{c}{ab}+\frac{a}{bc}\ge2\sqrt{\frac{c}{ab}.\frac{a}{bc}}=\frac{1}{b}\)
cộng vế với vế ta được \(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
=>\(A=\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=2
Vậy minA=3/2 khi a=b=c=2
18 tháng 7 2018
Ta có : \(\frac{a^3}{1+b}+\frac{1+b}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3\left(1+b\right)}{8\left(1+b\right)}}=\frac{3}{2}a\)
\(\frac{b^3}{1+a}+\frac{1+a}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{1+a}.\frac{1+a}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}b\)
Cộng các vế tương ứng lại ta được :
\(\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}+\frac{1}{4}\left(a+b\right)+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{5}{4}.2\sqrt{ab}-\frac{3}{2}=1\)
Do đó \(P\ge1\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
Áp dụng BĐT Cô - Si cho hai số dương \(ab\)và \(\frac{1}{ab}\), ta có :
\(ab+\frac{1}{ab}\ge2\sqrt{ab.\frac{1}{ab}}=2\sqrt{1}=2\)
\(\Rightarrow ab+\frac{1}{ab}\ge2\)
\(0< a;b< 1\) thì không tìm được GTNN