![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(C=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\)
Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\) Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu ta có:
\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{1}=4\)
Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\)Áp dụng bđt Cô si ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{ab}\le1\)\(\Rightarrow\left(2\sqrt{ab}\right)^2\le1\)
\(\Leftrightarrow4ab\le1\)\(\Leftrightarrow2ab\le\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\frac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow C=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge4+2=6\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(minC=6\)\(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
bài này đã có rất nhiều bạn hỏi rồi
Ta có hai bất đẳng thức phụ quen thuộc sau : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(*) ; \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)(**)
BĐT(*) \(< =>\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}< =>x^2+2xy+y^2\ge4xy< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng)
BĐT(**)\(< =>x^2+2xy+y^2\ge4xy< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng
Lại có \(C=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\)
Sử dụng bất đẳng thức phụ (*) : \(C\ge\frac{1}{2ab}+\frac{4}{a^2+2ab+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2ab}+4\)
Sử dụng bất đẳng thức phụ (**) : \(\frac{1}{2ab}+4\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}+4=2+4=6\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của C = 6 đạt được khi a = b = 1/2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Q=\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{7}{ab+bc+ac}\)
ap dung bdt cauchy-schwarz dang engel ta co
\(Q\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+ab+ac+bc}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)
=\(\frac{3^2}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{ab+bc+ac}\) \(\ge3^2+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=9+21=30\)
dau = xay ra khi a=b=c=1/3
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\ge2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{b}{ac}}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge2\sqrt{\frac{b}{ac}.\frac{c}{ab}}=\frac{1}{a}\)
\(\frac{c}{ab}+\frac{a}{bc}\ge2\sqrt{\frac{c}{ab}.\frac{a}{bc}}=\frac{1}{b}\)
cộng vế với vế ta được \(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
=>\(A=\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=2
Vậy minA=3/2 khi a=b=c=2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bdtd quen thuộc :
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Chứng minh bđt nha ( quên mất )
Áp dụng bđt Cauchy :
\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{cases}}\)
Nhân từng vế của 2 bđt ta được đpcm
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chứng minh bđt phụ: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (1)
Ta có:\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng với mọi \(a,b>0\))
Đặt \(A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{5}{ab}+ab\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{9}{2ab}+ab\)
Áp dụng bđt (1) ta được: \(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{4^2}=\frac{1}{4}\)
Áp dụng bđt Cô-si với \(\frac{9}{2ab}+ab\)ta được: \(\frac{9}{2ab}+ab\ge2\sqrt{\frac{9}{2ab}.ab}=2.\sqrt{\frac{9}{2}}=\sqrt{4.\frac{9}{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{4}+3\sqrt{2}\)
Vậy \(minA=3\sqrt{2}+\frac{1}{4}\)