K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

11 tháng 5 2016

Áp dung tính chất dãy tỉ số bằng nhau :

a^3/b +a^3/b +b^2 \(\ge\)3.a^2

\(\Rightarrow\)2a^3/b +b^2>=3a^2  

Tương tự :  +2b^3/c +c^2 \(\ge\)3.b^2              (1)

                  +2c^3/a +a^2 \(\ge\)3.c^2                (2)

Ta cộng (1) và (2) được :

2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) \(\ge\)3.(a^2+b^2+c^2)  

\(\Rightarrow\)a^3/b+b^3/c+c^3/a \(\ge\)a^2+b^2+c^2  

Mặt khác :   a^2+b^2+c^2 \(\ge\)ab+bc+ca  

Nên :  a^3/b+b^3/c+c^3/a \(\ge\)ab+bc+ca 

Vậy đpcm 

24 tháng 3 2016

Dễ dàng chứng minh được với  \(a,b>0:\)

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{a^3}{b}+b^2\ge a\left(a+b\right)\)  \(\left(1\right)\)

Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị theo bđt trên, ta có:

\(\frac{b^3}{c}+c^2\ge b\left(b+c\right)\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\frac{c^3}{a}+a^2\ge c\left(c+a\right)\)  \(\left(3\right)\)

Cộng  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\)  vế theo vế, ta được:

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)=ab+bc+ca+\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Vì  \(a,b,c>0\)  nên  \(a^2+b^2+c^2\ne0\)

Do đó, trừ cả hai vế của bđt trên cho  \(a^2+b^2+c^2\)  ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh, tức là:

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)  

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c\)

31 tháng 3 2016

a3/b+b3/c+c3/a=a4/ab+b4/bc+c4/ca>=(a2+b2+c2)2/ab+bc+ac>=(ab+bc+ca)2/ab+bc+ca=ab+bc+ca

dấu đẳng thức xảy ra<=>x=y=z

NV
25 tháng 3 2019

Biến đổi tương đương:

\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}\ge3\)

b/ \(VT=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+ac+bc\right)}{9\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)^2}}\ge\frac{8.3}{9}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

25 tháng 3 2019

Cám ơn

23 tháng 11 2019

a) Đơn giản, tự chứng minh

b) Cách 1: Áp dụng BĐT câu a: \(VT\ge\left(a^2+ab-b^2\right)+\left(b^2+bc-c^2\right)+\left(c^2+ca-a^2\right)=ab+bc+ca=VP\)(đpcm)

Cách 2:

Ta chứng minh BĐT chặt hơn: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\) (vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\))

Giả sử \(b=min\left\{a,b,c\right\}\).Bằng phương pháp B-W (Buffalo way) ta phân tích được:

\(VT-VP=\frac{\left(4a^2c+4abc-b^3+3b^2c-bc^2\right)\left(a-b\right)^2+b\left(b^2+bc+c^2\right)\left(a+b-2c\right)^2}{4abc}\ge0\)

P/s: Cách 2 tuy dài nhưng rất hay vì đây là phân tích bằng tay (không cần dùng phần mềm)!

AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 8 2019

Lời giải:
a)

Xét hiệu \(\frac{a^3}{b}-(a^2+ab-b^2)=(\frac{a^3}{b}-a^2)-(ab-b^2)\)

\(=\frac{a^3-a^2b}{b}-b(a-b)=\frac{a^2(a-b)}{b}-b(a-b)=(a-b)\left(\frac{a^2}{b}-b\right)\)

\(=(a-b).\frac{a^2-b^2}{b}=\frac{(a-b)^2(a+b)}{b}\geq 0, \forall a,b>0\)

Do đó \(\frac{a^3}{b}\geq a^2+ab-b^2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$

b)

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:

\(\frac{a^3}{b}+ab\geq 2a^2\)

\(\frac{b^3}{c}+bc\geq 2b^2\)

\(\frac{c^3}{a}+ac\geq 2c^2\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\)

Mà cũng theo BĐT Cauchy:

\(a^2+b^2+c^2=\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}\geq \frac{2ab}{2}+\frac{2bc}{2}+\frac{2ca}{2}=ab+bc+ca\)

\( \Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\geq 2(ab+bc+ac)-(ab+bc+ac)=ab+bc+ac\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$