K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

7 tháng 9 2016

Ta áp dụng Bđt Cô-si

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\left(1\right)\)

\(\left(b-c\right)^2\ge0\Leftrightarrow b^2+c^2\ge2\sqrt{b^2c^2}=2bc\left(2\right)\)

\(\left(a-c\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+c^2\ge2\sqrt{a^2c^2}=2ac\left(3\right)\)

Cộng theo vế của (1),(2) và (3) có:

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

Dấu = khi a=b=c

-->Đpcm

7 tháng 9 2016

Ta có: \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

<=>\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

<=>\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

<=>\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

<=>\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0,\left(b-c\right)^2\ge0,\left(c-a\right)^2\ge0\)

=>\(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}}\)

Vậy a=b=c

10 tháng 8 2016

a)a2+b2+c2+3=2(a+b+c)

=>a2+b2+c2+1+1+1-2a-2b-2c=0

=>(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)=0

=>(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0

=>a-1=b-1=c-1=0 <=>a=b=c=1 

-->Đpcm

b)(a+b+c)2=3(ab+ac+bc)

=>a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0 

=>a2+b2+c2-ab-ac-bc=0

=>2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0 

=>(a2- 2ab+b2)+(b2-2bc+c2) + (c2-2ca+a2) = 0

=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 

Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0

=>a-b hoặc b=c hoặc a=c

=>a=b=c 

-->Đpcm

c)a2+b2+c2=ab+bc+ca

=>2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)

=>2a2+2b2+c2=2ab+2bc+2ca

=>2a2+2b2+c2-2ab-2bc-2ca=0

=>a2+a2+b2+b2+c2+c2-2ab-2bc-2ca=0

=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)=0

=>(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0

Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0

=>a-b hoặc b=c hoặc a=c

=>a=b=c 

-->Đpcm

5 tháng 4 2018

Ta có: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=2\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=2\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\)

\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2=0\)

\(\left\{{}\begin{matrix} -\left(a-b\right)^2\le0\\-\left(b-c\right)^2\le0\\-\left(c-a\right)^2\le0\end{matrix}\right.\Rightarrow-\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\le0\)

Dấu ''= '' xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy với a=b=c thì \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=4\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)

17 tháng 12 2015

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-b-ac\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

Dấu ' = ' xảy ra khi a=b=c (dpcm)

 

22 tháng 10 2016

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

\(\Rightarrow2.\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=2.0\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\left(a^2+b^2-2ab\right)+\left(a^2+c^2-2ac\right)+\left(b^2+c^2-2bc\right)=0\)

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)

Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\left(a-c\right)^2\ge0\)

\(\left(b-c\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

Vậy ...

22 tháng 10 2016

thanks

10 tháng 11 2020

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta được: \(\Sigma_{cyc}\frac{ab}{a^2+bc+ca}=\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)}\le\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

Ta có: \(\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2.a\sqrt{ab}.c\sqrt{ab}+2.a\sqrt{bc}.b\sqrt{bc}+2.c\sqrt{ca}.b\sqrt{ca}}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\le\frac{ab^3+bc^3+ca^3+a^3b+abc^2+a^2bc+b^3c+c^3a+ab^2c}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

NV
14 tháng 5 2020

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{a^2+bc+ca}\le\frac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

Tương tự: \(\frac{bc}{b^2+ca+ab}\le\frac{bc\left(c^2+ca+ab\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\) ; \(\frac{ac}{c^2+ab+bc}\le\frac{ac\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

Cộng vế với vế:

\(VT\le\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

\(VT\le\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2.a\sqrt{ab}.c\sqrt{ab}+2a\sqrt{bc}.b\sqrt{bc}+2c\sqrt{ac}.b\sqrt{ac}}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

\(VT\le\frac{ab^3+bc^3+ca^3+a^3b+abc^2+b^3c+a^2bc+ac^3+ab^2c}{\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

\(VT\le\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

13 tháng 8 2015

=> a^2—2ab+b^2 +b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2-4a^2-4b^2-4c^2+4ab+4bc+4ca=0

=> —(2a^2+2^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)=0

=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0

=>a=b;b=c;c=a

=>a=b=c

NV
25 tháng 3 2019

Biến đổi tương đương:

\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}\ge3\)

b/ \(VT=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+ac+bc\right)}{9\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)^2}}\ge\frac{8.3}{9}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

25 tháng 3 2019

Cám ơn