K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

26 tháng 11 2020

Ta có: \(\Sigma_{cyc}\frac{a+1}{1+b^2}=\Sigma_{cyc}\left(\frac{a}{1+b^2}+\frac{1}{1+b^2}\right)=\Sigma_{cyc}\left(a-\frac{ab^2}{1+b^2}\right)+\Sigma_{cyc}\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)\(\ge\Sigma_{cyc}\left(a-\frac{ab^2}{2b}\right)+\Sigma_{cyc}\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=\left(3-\frac{ab+bc+ca}{2}\right)+\left(3-\frac{a+b+c}{2}\right)\)\(\ge\left(3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}\right)+\frac{3}{2}=3\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

3 tháng 2 2018

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{2b}=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c+ab+bc+ac}{2}\)

\(\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}\)

\(\ge3+3-\frac{3+\frac{3^2}{3}}{2}=3\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

17 tháng 3 2016

Ta có: \(a+1-\frac{a+1}{b^2+1}=\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\le\frac{ab^2+b^2}{2b}=\frac{ab}{2}+\frac{b}{2}\) vì \(b^2+1\ge2b\)

nên \(\frac{a+1}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b}{2}-\frac{ab}{2}\) Tương tự: 

Vậy ta có: \(VT\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c}{2}-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)

Vì \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{9}{3}=3\)

nên \(VT\ge3+\frac{a+b+c}{2}-\frac{1}{2}3=3+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=3=VP\)

3 tháng 2 2020

1.Ta có: \(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab\)

\(=ac+bc+c^2+ab\)

\(=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\)

\(=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)

CMTT \(a+bc=\left(c+a\right)\left(b+c\right)\)

\(b+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)

Từ đó \(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)

Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)( theo BĐT AM-GM)

CMTT\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}.3\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy /...

3 tháng 2 2020

\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{ab^2-b^2}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\)

\(=a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)

Tương tự rồi cộng lại:

\(RHS\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)

\(\ge a+b+c+3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)

30 tháng 12 2019

\(\frac{a+1}{b^2+1}=\frac{\left(a+1\right)\left(b^2+1\right)-b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\)

\(\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{ab+a}{2}\)

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được:

\(LHS\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}=3=RHS\)

2 tháng 10 2017

Đặt a  ;  b và c = 1

Ta có: \(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1^2+1^2+2}+\frac{1}{1^2+1^2+2}+\frac{1}{1^2+1^2+2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+1+2}+\frac{1}{1+1+2}+\frac{1}{1+1+2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1\)

\(1>\frac{3}{4}\Rightarrow\)Không thể thỏa mãn đề bài hoặc đề sai.

Cách khác: Nếu bấm máy tính casio thì nó ra là \(\frac{3}{2}\)mà \(\frac{3}{2}>\frac{3}{4}\Rightarrow\)Không thể thỏa mãn đề bài hoặc đề sai

cô si ngược đi

22 tháng 4 2017

Từ \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\)

\(\Rightarrow\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)

Cho \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) thì ta có:

\(x^2+y^2+z^2\ge3\forall\hept{\begin{cases}x+y+z+xy+yz+xz=6\\x,y,z>0\end{cases}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\)

\(y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\)

\(z^2+1\ge2\sqrt{z^2}=2z\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\left(1\right)\)

Lại có BĐT quen thuộc \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\left(2\right)\)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:

\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\cdot6=12\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

16 tháng 8 2020

GT của bài toán được viết lại thành\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)

áp dụng bđt Cauchy ta được

 \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab};\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc};\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\ge\frac{2}{ca}\)

\(\frac{1}{a^2}+1\ge\frac{2}{a};\frac{1}{b^2}+1\ge\frac{2}{b};\frac{1}{c^2}+1\ge\frac{2}{c}\)

cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được \(3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+3\ge2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2\cdot6=12\)

hay \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)

đẳng thức được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1