![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta thử nha :)) Có gì sai thì chỉ bảo nhé :
BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc-\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)-\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4bc-4ca-3a^2+6ab-3b^2\ge\right)0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2+4c\left(c-b-a\right)\right]\ge0\) ( luôn đúng với a,b,c > 0 ?? )
Vậy ta có điều phải chứng minh ?
Xin phép làm lại nha :))
Ta có BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc-\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)-\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4ca-4bc-3a^2-3b^2+6ab\ge\right)0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a+b-2c\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy ta có điều phải chứng minh .
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(a\ge0,b\ge0,c\ge0\)
=>\(a+b+c\ge0\)
=>\(a+b\ge-c\)
=>\(\left(a+b\right)^3\ge\left(-c\right)^3\)
=>\(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\ge-c^3\)
=>\(a^3+b^3+3.ab.\left(a+b\right)-\left(-c^3\right)\ge0\)
=>\(a^3+b^3+c^3\ge-3ab.\left(a+b\right)\)
Vì a+b=-c
=>\(a^3+b^3+c^3\ge-3ab.\left(-c\right)\)
=>\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)
=>ĐPCM
Mình nhầm chỗ:
Vì \(a+b\ge-c\)
=>\(a^3+b^3+c^3\ge-3ab.\left(a+b\right)\ge-3ab.\left(-c\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
câu a ) chuyển vế => đpcm
câu b) nhân 2 vế vs 2 rồi chuyển vế => đpcm
câu c) chuyển vế pt đa thức thành nhân tử ( cái này lớp 8 đã pt rồi)=> đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a/ \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)
\(\Leftrightarrow a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2abc+b^2c^2\right)+\left(b^2-2abc+a^2c^2\right)+\left(c^2-2abc+a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-bc\right)^2+\left(b-ac\right)^2+\left(c-ab\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy bđt được chứng minh.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Do vai trò của 3 biến là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)
\(\Rightarrow\) Theo BĐT Chebyshev:
\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\) (1)
Bunhiacopxki:
\(\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2\le2\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\le6\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\ge6\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge6\)
Hiển nhiên đúng do: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc=6\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a/ BĐT sai, cho \(a=b=c=2\) là thấy
b/ \(VT=\frac{a^4}{a^2+2ab}+\frac{b^4}{b^2+2bc}+\frac{c^4}{c^2+2ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
c/ Tiếp tục sai nữa, vế phải là \(\frac{3}{2}\) chứ ko phải \(2\), và hy vọng rằng a;b;c dương
\(VT=\frac{a^2}{abc.b+a}+\frac{b^2}{abc.c+b}+\frac{c^2}{abc.a+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)+a+b+c}\)
\(VT\ge\frac{9}{3abc+3}\ge\frac{9}{\frac{3\left(a+b+c\right)^3}{27}+3}=\frac{9}{\frac{3.3^3}{27}+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có:
\(a^3+b^3+b^3\ge3ab^2\) ; \(b^3+c^3+c^3\ge3bc^2\) ; \(c^3+a^3+a^3\ge3ca^2\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ab^2+bc^2+ca^2\)
\(\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}=\frac{a^6}{ab^2}+\frac{b^6}{bc^2}+\frac{c^6}{ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=a^3+b^3+c^3\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - Si ta có :
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c .