VT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2019
a/ BĐT sai, cho \(a=b=c=2\) là thấy
b/ \(VT=\frac{a^4}{a^2+2ab}+\frac{b^4}{b^2+2bc}+\frac{c^4}{c^2+2ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
c/ Tiếp tục sai nữa, vế phải là \(\frac{3}{2}\) chứ ko phải \(2\), và hy vọng rằng a;b;c dương
\(VT=\frac{a^2}{abc.b+a}+\frac{b^2}{abc.c+b}+\frac{c^2}{abc.a+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)+a+b+c}\)
\(VT\ge\frac{9}{3abc+3}\ge\frac{9}{\frac{3\left(a+b+c\right)^3}{27}+3}=\frac{9}{\frac{3.3^3}{27}+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 6 2019
Ta có:
\(a^3+b^3+b^3\ge3ab^2\) ; \(b^3+c^3+c^3\ge3bc^2\) ; \(c^3+a^3+a^3\ge3ca^2\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ab^2+bc^2+ca^2\)
\(\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}=\frac{a^6}{ab^2}+\frac{b^6}{bc^2}+\frac{c^6}{ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=a^3+b^3+c^3\)
DH
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 9 2021
\(\dfrac{a^3}{1+b}+\dfrac{1+b}{4}+\dfrac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3\left(1+b\right)}{8\left(a+b\right)}}=\dfrac{3a}{2}\)
\(\dfrac{b^3}{1+c}+\dfrac{1+c}{4}+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{3b}{2}\) ; \(\dfrac{c^3}{1+a}+\dfrac{1+a}{4}+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{3c}{2}\)
\(\Rightarrow VT+\dfrac{a+b+c}{4}+\dfrac{9}{4}\ge\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{5}{4}\left(a+b+c\right)-\dfrac{9}{4}\ge\dfrac{5}{4}.3\sqrt[3]{abc}-\dfrac{9}{4}=\dfrac{3}{2}\)
VT
0
TM
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 5 2019
Lời giải:
Đặt \(P=\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\)
\(P=a+1-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+b+1-\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+c+1-\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\)
\(=(a+b+c+3)-\left(\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\leq \frac{b^2(a+1)}{2b}+\frac{c^2(b+1)}{2c}+\frac{a^2(c+1)}{2a}=\frac{ab+bc+ac+a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{a+b+c+6}{2}-\frac{ab+bc+ac}{2}\)
Mà: \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\Rightarrow P\geq \frac{a+b+c+6}{2}-\frac{(a+b+c)^2}{6}=3\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 5 2019
@Trần Minh Lộc: lần sau bạn lưu ý gõ đề bài bằng công thức toán.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 7 2021
Đặt vế trái BĐT là P
Ta có:
\(\left(\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{c+a}+\dfrac{c^3}{a+b}\right)\left(a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
\(\Rightarrow P.\left(2ab+2bc+2ca\right)\ge1\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{1}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
