![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Để chứng minh rằng biểu thức abc(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) nhỏ hơn hoặc bằng 8 khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho a, b, c ta có: (a + b + c)/3 >= (abc)^(1/3)
Vì a + b + c = 3, ta có: 3/3 >= (abc)^(1/3) 1 >= (abc)^(1/3) 1^3 >= abc 1 >= abc
Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 8.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho (1 + a^2), (1 + b^2), (1 + c^2) ta có: (1 + a^2 + 1 + b^2 + 1 + c^2)/3 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3)
Vì a^2 + b^2 + c^2 >= 3 (bằng với bất đẳng thức Tchebyshev), ta có: (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3) (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 >= (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 1 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3) 1^3 >= (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) 1 >= (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2)
Từ hai bất đẳng thức trên, ta có: abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 1 * 1 = 1
Do đó, khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3, ta có abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 1, và vì 1 nhỏ hơn hoặc bằng 8, nên ta có: abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 8.
Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng biểu thức abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) nhỏ hơn hoặc bằng 8 khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu 2;3;4 dễ quá... bỏ qua!!
Câu 5;6 khó quá ... khỏi làm!!
dễ quá bỏ qua!!, khó quá khỏi làm!!
cứ tiêu chí mày bạn sẽ vượt qua mọi bài toán... và nhanh chóng đạt 1đ.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2}{c^2}=\dfrac{c^2}{b^2}\) \(=\dfrac{a^2+c^2}{c^2+b^2}\)
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{c}\times\dfrac{c}{b}=\left(\dfrac{a}{c}\right)^2\)
Mà \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\left(\dfrac{a}{c}\right)^2=\dfrac{a}{b}\)
Vậy \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\dfrac{a}{b}\) (ĐPCM)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta có
a/b=b/c
=>a.c=b^2
a^2+b^2/b^2+c^2
=a^2+a.c/a.c+c^2
=a(a+c)/c(a+c)
=a/c
k ung hộ mình nha