Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hãy tích cho tui đi
vì câu này dễ mặc dù tui ko biết làm
Yên tâm khi bạn tích cho tui
Tui sẽ ko tích lại bạn đâu
THANKS
\(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)
Dấu ''='' xảy ra <=> a = b = c = 1
(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = (a+b-2c)^2 + (b+c-2a)^2 + (c+a-2b)^2
<=> (a+b-2c)^2 - (a-b)^2 + (b+c-2a)^2 - (b-c)^2 + (c+a-2b)^2 - (c-a)^2 = 0
<=> (2b-2c)(2a-2c) + (2c-2a)(2b-2a) + (2a-2b)(2c-2b) = 0
<=> (b-c)(a-c) + (c-a)(b-a) + (a-b)(c-b) = 0
<=> ab - ac - bc + c^2 + bc - ab - ac - a^2 + ac - bc - ab + b^2 = 0
<=> a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0
<=> (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2) = 0
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0
<=> (a-b)^2=0; (b-c)^2=0; (c-a)^2=0
<=> a-b=0; b-c=0; c-a=0
<=> a=b=c (đpcm)
a, a2+b2+c2+3=2(a+b+c)
a2+b2+c2+3-2a-2b-2c=0
(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)=0
(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0
mà (a-1)2+(b-1)2+(c-1)2\(\ge\)0
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\\\left(c-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)
=> a=b=c=1
Ta có: (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=(a+b-2c)2+(b+c-2a)2+(c+a-2b)2=(a-c+b-c)2+(b-a+c-a)2 +(c-b+a-b)2.
Đặt a-b=x; b-c=y; c-a=z thì ta có:x+y+z=0,→ x2+y2+z2=(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=2(x2 +y2 +z2)-2(yz+xz+yx)
→x2 +y2 +z2+2(xy+yz+xz)=2(x2 +y2 +z2)
hay(x+y+z)2=2(x2 +y2 +z2). Mà x+y+z=0 nên→ x2+y2+z2=0,
→(a-b)2+(b-c)2 +(c-a)2=0↔a-b=b-c=c-a=0→a=b=c(đpcm)
Lời giải:
Đặt $a-b=x; b-c=y; c-a=z$ thì $x+y+z=0$
Khi đó. Điều kiện đề tương đương với:
$x^2+y^2+z^2=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)$
$\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)=x^2+y^2+z^2$
$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^2=0$
$\Rightarrow x=y=z=0$
$\Rightarrow a-b=b-c=c-a=0$
$\Rightarrow a=b=c$
Trước hết ta chứng minh các bđt : \(a^7+b^7\ge a^2b^2\left(a^3+b^3\right)\left(1\right)\)
Thật vậy:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)\ge0\)(luôn đúng)
Lại có : \(a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+1\right)\)
mà \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+1\right)\)(luôn đúng)
Áp dụng các bđt trên vào bài toán ta có
∑\(\frac{a^2b^2}{a^7+a^2b^2+b^7}\le\)∑\(\frac{a^2b^2}{a^3b^3\left(a+b+c\right)}\le\)∑\(\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Bất đẳng thức được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Em xem lại dòng thứ 4 và giải thích lại giúp cô với! ko đúng hoặc bị nhầm