Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giải:
Vì \(0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow ab,ac,ab\geq abc\)
Do đó mà \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\leq \frac{a+b+c}{abc+1}\)
Giờ chỉ cần chỉ ra \(\frac{a+b+c}{abc+1}\leq 2\). Thật vậy:
Do \(0\leq b,c\leq 1\Rightarrow (b-1)(c-1)\geq 0\Leftrightarrow bc+1\geq b+c\Rightarrow bc+a+1\geq a+b+c\)
Suy ra \( \frac{a+b+c}{abc+1}\leq \frac{bc+a+1}{abc+1}=\frac{bc+a-2abc-1}{abc+1}+2=\frac{(bc-1)(1-a)-abc}{abc+1}+2\)
Ta có \(\left\{\begin{matrix}bc\le1\\a\le1\\abc\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\left(bc-1\right)\left(1-a\right)\le1\\-abc\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \frac{(bc-1)(1-a)-abc}{abc+1}+2\leq 2\Rightarrow \frac{a+b+c}{abc+1}\leq 2\)
Chứng minh hoàn tất
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(0,1,1)\) và hoán vị.
15.
Ta có \(a+b+c+ab+bc+ac=6\)
Mà \(ab+bc+ac\le\left(a+b+c\right)^2\)
=> \(\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)-6\ge0\)
=> \(a+b+c\ge3\)
\(A=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac}\ge a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\ge3\)(ĐPCM)
Bài 18, Đặt \(\left(a^2-bc;b^2-ca;c^2-ab\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) thì bđt trở thành
\(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\ge0\)
Vì \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)nên ta đi chứng minh \(x+y+z\ge0\)
Thật vậy \(x+y+z=a^2-bc+b^2-ca+c^2-ab\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)(đúng)
Tóm lại bđt được chứng minh
Dấu "=": tại a=b=c
11/Theo BĐT AM-GM,ta có; \(ab.\frac{1}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)\(=\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự với hai BĐT kia,cộng theo vế và rút gọn ta được đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi a= b=c
Ơ vãi,em đánh thiếu abc dưới mẫu,cô xóa giùm em bài kia ạ!
9/ \(VT=\frac{\Sigma\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(=\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8+abc+\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\le\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+9+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}\)
\(=\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}=1\left(Q.E.D\right)\)
"=" <=> a = b = c = 1.
Mong là lần này không đánh thiếu (nãy tại cái tội đánh ẩu)
a) \(4x-7>0\Leftrightarrow4x>7\)\(\Leftrightarrow x>\frac{7}{4}\)
b) \(-5x+8>0\Leftrightarrow5x<8\Leftrightarrow x<\frac{8}{5}\)
c)\(9x-10\le0\Leftrightarrow9x\le10\)\(\Leftrightarrow x\le\frac{10}{9}\)
d) \(\left(x+1\right)^2+4\le x^2+3x+10\)\(\Leftrightarrow x^2-2x+1+4\le x^2+3x+10\)
\(\Leftrightarrow5x\ge-5\Leftrightarrow x\ge-1\)
a,
4x - 7 > 0
↔ 4x > 7
↔ x > \(\dfrac{7}{4}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = { x / x>\(\dfrac{7}{4}\) }
b,
-5x + 8 > 0
↔ 8 > 5x
↔ \(\dfrac{8}{5}\) > x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = { x / \(\dfrac{8}{5}\) > x }
c,
9x - 10 ≤ 0
↔ 9x ≤ 10
↔ x ≤ \(\dfrac{10}{9}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = { x / x ≤ \(\dfrac{10}{9}\) }
d,
( x - 1 )\(^2\) + 4 ≤ x\(^2\) + 3x + 10
↔ x\(^2\) - 2x +1 +4 ≤ x\(^2\) + 3x + 10
↔ 1 + 4 - 10 ≤ x \(^2\) - x\(^2\) + 3x + 2x
↔ -5 ≤ 5x
↔ -1 ≤ x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = { x / -1 ≤ x}
a) ta có:
\(\frac{-1}{2}-1\le x\le\frac{1}{2}.3\)
hay \(-1,5\le x\le1,5\)
vì x\(\in Z\) nên ta chọn x=-1,0,1
ta có:
3S=\(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^8}\)
3S-S=\(\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^8}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^9}\right)\)
2S=1-\(\frac{1}{3^9}\)
s=\(\left(1-\frac{1}{3^9}\right):2\)
Lời giải
Vì $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$ nên $ab,bc,ca\geq abc$
Do đó
$A=\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\leq \frac{a+b+c}{abc+1}$
Ta cần CM $\frac{a+b+c}{abc+1}\leq 2\Leftrightarrow 2(abc+1)\geq a+b+c$
Thật vậy:
Vì $a,b,c \leq 1$ nên $\left\{\begin{matrix}(a-1)(bc-1)\geq 0\\ (b-1)(c-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2abc+1\geq abc+1\geq bc+a\\ bc+1\geq b+c\end{matrix}\right.$
Do đó $2abc+2\geq a+bc+1\geq a+b+c$
Hoàn tất chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,1)$