Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
15.
Ta có \(a+b+c+ab+bc+ac=6\)
Mà \(ab+bc+ac\le\left(a+b+c\right)^2\)
=> \(\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)-6\ge0\)
=> \(a+b+c\ge3\)
\(A=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac}\ge a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\ge3\)(ĐPCM)
Bài 18, Đặt \(\left(a^2-bc;b^2-ca;c^2-ab\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) thì bđt trở thành
\(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\ge0\)
Vì \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)nên ta đi chứng minh \(x+y+z\ge0\)
Thật vậy \(x+y+z=a^2-bc+b^2-ca+c^2-ab\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)(đúng)
Tóm lại bđt được chứng minh
Dấu "=": tại a=b=c
7/ Em sửa lại đề ạ
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a+b=4ab
Chứng minh rằng \(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\ge\frac{1}{2}\)
Đổi biến \(\left(a,b\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y}\right)\)
Từ giả thiết => x+y=4
Ta có: BĐT cần CM tương đương với:
\(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{4}{y^2}+1}+\frac{\frac{1}{y}}{\frac{4}{x^2}+1}\ge\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{y^2}{x\left(4+y^2\right)}+\frac{x^2}{y\left(4+x^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Schwarz, ta có:
∑\(\frac{x^2}{y\left(4+x^2\right)}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+xy^2+x^2y}=\frac{16}{16+xy^2+x^2y}\)
Ta chỉ cần chứng minh:
\(xy^2+x^2y\le16\Leftrightarrow xy^2+x^2y\le\frac{1}{4}\left(x+y\right)^3\)
\(\Leftrightarrow xy^2+x^2y\le x^3+y^3\)(luôn đúng)
Do đó (1) đúng. BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi x=y=2⇔a=b=\(\frac{1}{2}\)
6. (chuyên Hòa Bình)
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy+zx+4yz=32
Tìm giá trị nhỏ nhất của\(P=x^2+16y^2+16z^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương x,y,z ta có
\(\hept{\begin{cases}8y^2+\frac{1}{2}x^2\ge2\sqrt{8y^2.\frac{1}{2}x^2}=4xy\\8z^2+\frac{1}{2}x^2\ge2\sqrt{8z^2.\frac{1}{2}x^2}=4xz\\8y^2+8z^2\ge2\sqrt{8y^2.8z^2}=16yz\end{cases}}\)
Cộng từng vế của ba bđt trên ta có
\(P\ge4\left(xy+xz+4yz\right)=4.32=128\)
Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy số bộ a,b,c thỏa mãn điều kiện đã cho là 1.
Chọn B.
Đáp án là B.
+ log a b = 2 log b c log b c = 2 log c a
⇒ log 2 b c = log c b ⇔ log 3 b c = 1 ⇔ c = b , 1
+ log b c . log a c = 2 , 2
Từ (1) và (2) ⇒ c = a 2 3 .
+ Thay (1);(2) và (3) vào:
a + 2 b + 3 c = 48 ⇒ a = 3 ; b = c = 9
Vậy P = a b c = 243.
Xét ( a2 + b2 + c2 + d2 ) - ( a + b + c + d)
= a(a -1) + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1)
Vì a là số nguyên dương nên a, (a – 1) là hai số tự nhiên liên tiếp
=> a(a-1) chia hết cho 2. Tương tự ta có b(b-1); c(c-1); d(d-1) đều chia hết cho 2
=> a(a -1) + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1) là số chẵn
Lại có a2 + c2 = b2 + d2=> a2 + b2 + c2 + d2 = 2( b2 + d2) là số chẵn.
Do đó a + b + c + d là số chẵn mà a + b + c + d > 2 (Do a, b, c, d thuộc N*)
a + b + c + d là hợp số.
Xét \(( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ) - ( a + b + c + d)\)
\(= a(a -1) + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1)\)
Vì a là số nguyên dương nên $a$, $(a – 1)$ là hai số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow a-1⋮2\)
Tương tự ta có $b(b-1)$; $c(c-1)$; $d(d-1)$ đều chia hết cho 2
=> $a(a -1) + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1)$ là số chẵn
Lại có \(a^2 + c^2 = b^2 + d^2=> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 2( b^2 + d^2)\) là số chẵn.
Do đó $a + b + c + d$ là số chẵn mà $a + b + c + d > 2$ (Do \(a,b,c,d\in N^{sao}\))
\(\Rightarrow\) $a + b + c + d$ là hợp số.
11/Theo BĐT AM-GM,ta có; \(ab.\frac{1}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)\(=\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự với hai BĐT kia,cộng theo vế và rút gọn ta được đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi a= b=c
Ơ vãi,em đánh thiếu abc dưới mẫu,cô xóa giùm em bài kia ạ!
9/ \(VT=\frac{\Sigma\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(=\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8+abc+\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\le\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+9+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}\)
\(=\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}=1\left(Q.E.D\right)\)
"=" <=> a = b = c = 1.
Mong là lần này không đánh thiếu (nãy tại cái tội đánh ẩu)