![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì: \(0\le a\le b\le c\le1\) nên:
\(\left(a-1\right).\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab-a-b+1\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{ab+1}\le\dfrac{1}{a+b}\Leftrightarrow\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{c}{a+b}\) (1)
\(\left(a-1\right).\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow ac-a-c+1\ge0\Leftrightarrow ac+1\ge a+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{ac+1}\le\dfrac{1}{a+c}\Leftrightarrow\dfrac{b}{ac+1}\le\dfrac{b}{a+c}\) (2)
\(\left(b-1\right).\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc-b-c+1\ge0\Leftrightarrow bc+1\ge b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{bc+1}\le\dfrac{1}{b+c}\Leftrightarrow\dfrac{a}{bc+1}\le\dfrac{a}{b+c}\) (3)
Cộng vế với vế của (1)(2) và (3) ta được:
\(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ac+1}\le2\left(đpcm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : \(0\le a\le b\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-1\le0\\b-1\le0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\)
\(\Rightarrow ab+1\ge a+b\Rightarrow\frac{1}{ab+1}\le\frac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{c}{a+b}\left(c\ge0\right)\)
Mà \(\frac{c}{a+b}\le\frac{2c}{a+b+c}\left(c\ge0\right)\Rightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{2c}{a+b+c}\)
CM tương tự ta cũng có : \(\hept{\begin{cases}\frac{b}{ac+1}\le\frac{2b}{a+b+c}\\\frac{a}{bc+1}\le\frac{2a}{a+b+c}\end{cases}}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (ĐPCM)
Vậy \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\)
Cho abc là số dương thỏa mãn 0<a<b<c<1
Chứng minh rằng \(\frac{a}{bc+1}\)+\(\frac{b}{ac+1}\)+\(\frac{c}{ab+1}\)<2
Từ giả thiết ta có:
(1-b) (1-c)>0 và 1 -(b+c)+bc>0 và bc+1>b+c và \(\frac{a}{bc+1}\)<\(\frac{a}{b+c}\)<\(\frac{a}{a+b}\)(1)
Tương tự ta cũng có :\(\frac{b}{ac+1}\)<\(\frac{b}{a+c}\)<\(\frac{b}{a+b}\)(2);\(\frac{c}{ab+1}\)<c<1(3)
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta được :\(\frac{a}{bc+1}\)+\(\frac{b}{ac+1}\)+\(\frac{c}{ab+1}\)<\(\frac{a+b}{a+b}\)+1=2
Vậy \(\frac{a}{bc+1}\)+\(\frac{b}{ac+1}\)+\(\frac{c}{ab+1}\)<2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bạn tham khảo ở đây nhé
https://olm.vn/hoi-dap/detail/49527613309.html
ở đây nữa:
https://hoc24.vn/hoi-dap/question/32718.html
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(0\le a\le b\le c\le1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\)
\(\Rightarrow ab+1\ge a+b\Rightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{c}{a+b}\le\frac{2c}{a+b+c}\)
Tương tự ta có: \(\frac{a}{bc+1}\le\frac{2a}{a+b+c}\); \(\frac{b}{ca+1}\le\frac{2b}{a+b+c}\)
Cộng ba vế của các bđt trên, ta được:
\(\text{Σ}_{cyc}\frac{a}{bc+1}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Vì \(0\le a\le b\le c\le1\)nên:
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\)\(\Rightarrow ab+1\ge a+b\)\(\Rightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{c}{a+b}\) (1)
\(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\text{}\ge0\)\(\Rightarrow bc-b-c+1\text{}\ge0\)\(\Rightarrow bc+1\text{}\ge b+c\)\(\Rightarrow\frac{a}{bc+1}\le\frac{a}{b+c}\) (2)
\(\left(a-1\right)\left(c-1\right)\ge0\)\(\Rightarrow ac-a-c+1\text{}\ge0\)\(\Rightarrow ac+1\ge a+c\)\(\Rightarrow\frac{b}{ac+1}\le\frac{b}{a+c}\) (3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\) (4)
Mà \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\le\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (5)
Từ (4) và (5) \(\Rightarrow\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\) (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Ta có:
\(AB^2+BC^2=1^2+\left(\sqrt{3}\right)^2\)
\(\Rightarrow AB^2+BC^2=1+3\)
\(\Rightarrow AB^2+BC^2=4cm\) (1).
Lại có:
\(\)\(AC^2=2^2\)
\(\Rightarrow AC^2=4cm\) (2).
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AB^2+BC^2=AC^2\left(=4cm\right).\)
Áp dụng định lí Py - ta - go đảo
\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại \(B.\)
Chúc bạn học tốt!