K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

8 tháng 9 2017

\(ab+\frac{1}{ab}=16ab+\frac{1}{ab}-15ab\ge2\sqrt{\frac{16ab}{ab}}-15ab=8-15ab\)

Lại có:

\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)(BĐT phụ này bn tự CM)

\(\Rightarrow8-15ab\ge8-\frac{15}{4}=\frac{17}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2

8 tháng 9 2017

vậy bạn ơi cho mk hỏi thêm : nếu mà đặt 1/ab = t thì biến đổi như thế nào để cho t + 1/t lớn hơn hoặc bằng 4

24 tháng 9 2019

Cách khác:

\(ab+\frac{1}{ab}=16ab+\frac{1}{ab}-15ab\)

\(\ge2\sqrt{16ab.\frac{1}{ab}}-\frac{15}{4}\left(a+b\right)^2\)

\(\ge8-\frac{15}{4}=\frac{17}{4}\)

Equality holds when \(a=b=\frac{1}{2}\)(đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\))

NV
23 tháng 9 2019

\(M=ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{16ab}}+\frac{15}{4\left(a+b\right)^2}\ge\frac{1}{2}+\frac{15}{4}=\frac{17}{4}\)

Dấu "'=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

28 tháng 3 2019

Cosi + Svac-xơ

Có : \(3=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)

\(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\frac{1}{4-\frac{a+b}{2}}+\frac{1}{4-\frac{b+c}{2}}+\frac{1}{4-\frac{c+a}{2}}\)

\(=-\left(\frac{1}{\frac{a+b}{2}-4}+\frac{1}{\frac{b+c}{2}-4}+\frac{1}{\frac{c+a}{2}-4}\right)\le\frac{-\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c-12}=\frac{-9}{3-12}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)

1 tháng 5 2020

hơi phiền bn,bn có thẻ chỉ mik k ?

7 tháng 8 2019

BĐT <=> \(\frac{2}{a^2+2}+\frac{2}{b^2+2}+\frac{2}{c^2+2}\le2\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{a^2}{a^2+2}+1-\frac{b^2}{b^2+2}+1-\frac{c^2}{c^2+2}\le2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\ge1\)

Theo BĐT Svacxo:

\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{a^2+b^2+c^2+6}{a^2+b^2+c^2+6}=1\)

Vậy ta có đpcm.

P/s: Đúng ko ta?

26 tháng 12 2015

\(VT=\sum\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b+c\right)c+ab}}=\sum\frac{ab}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le\sum\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left[\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{ab+bc}{c+a}+\frac{bc+ca}{a+b}\right]=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=1\)

3 tháng 1 2022

TL :

Bất đẳng thức sai, chẳng hạn với \(a=b=10^{-4};c=0,5-a-b.\).

HT

3 tháng 1 2022

Thưa anh, nếu \(a=b=10^{-4}\) và \(c=0,5-a-b=0,5-2.10^{-4}\),em bấm máy thì ngay cả khi chỉ có một cái 

\(\frac{1}{ab\left(a+b\right)}\)nó đã bằng \(5.10^{11}\)lớn hơn rất nhiều so với \(\frac{87}{2}\), BĐT vẫn đúng chứ ạ?

1 tháng 6 2019

Áp dụng bđt AM-GM :

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2+1}{\left(a^2+1\right)\cdot4}}=1\)

Tương tự ta có : 

\(\frac{1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{4}\ge1\)

\(\frac{1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{4}\ge1\)

Cộng từng vế ta có :

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+3}{4}\ge3\)

Áp dụng bđt quen thuộc : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac=3\)

Khi đó : \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge3-\frac{3+3}{4}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

1 tháng 6 2019

bạn làm sai rồi . Khi \(a^2+b^2+c^2\ge3\) bạn chuyển vế thì nó không cùng dấu với bất đẳng thức