Question

[Lê Ngọc Hải Vy]

các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh B và C của tam giác ABC cát nhau ở K đường thẳng vuông góc với AK tại K cắt các đường thẳng AB , AC .theo thứ tự ở D và E . C/M:

a, DBKđồng dạng KEC

b, DE^2 = 4BD.CE

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) Thứ tự tam của tam giác đồng dạng bị sai. Phải là $\triangle DBK\sim \triangle EKC$

Ta có $K$ là giao 2 tia phân giác ngoài góc $B,C$ của tam giác $ABC$ nên $AK$ là tia phân giác trong góc $A$

Tam giác $ADE$ có $AK$ vừa là tia phân giác vừa là đường cao nên là tam giác cân

$\Rightarrow \widehat{ADK}=\widehat{AEK}$ hay $\widehat{BDK}=\widehat{KEC}(1)$

Mặt khác:

$\widehat{CKE}=90^0-\widehat{AKC}=90^0-(180^0-\widehat{KAC}-\widehat{ACK})=\widehat{KAC}+\widehat{ACK}-90^0$

$=\frac{\widehat{A}}{2}+\widehat{C}{2}+\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}-90^0$

$=\frac{2\widehat{A}+\widehat{B}+2\widehat{C}-180^0}{2}=\frac{\widehat{A}+\widehat{C}}{2}=\widehat{KBD}(2)$

Từ $(1);(2)$ suy ra $\triangle DBK\sim \triangle EKC$ (g.g)

b) 

Từ kết quả tam giác đồng dạng phần a

$\Rightarrow \frac{DK}{EC}=\frac{DB}{EK}$

$\Rightarrow DK.EK=EC.DB$

$\Leftrightarrow \frac{DE}{2}.\frac{DE}{2}=BD.CE$

$\Leftrightarrow DE^2=4BD.CE$ (đpcm)

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: