K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

2 tháng 2 2017

Ta có: \(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\le1-\frac{d}{d+1}=\frac{1}{d+1}\\\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}\\\frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{b}{b+1}=\frac{1}{b+1}\\\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{c}{c+1}=\frac{1}{c+1}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{1}{d+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\\\frac{1}{a+1}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\\\frac{1}{b+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\\\frac{1}{c+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\end{matrix}\right.\)

Nhân từng vế:

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\sqrt[3]{\frac{a^3b^3c^3d^3}{\left(a+1\right)^3\left(b+1\right)^3\left(c+1\right)^3}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge\frac{81abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)

\(\Rightarrow1\ge81abcd\)

Vậy \(abcd\le\frac{1}{81}\left(đpcm\right)\)

p/s : lí do tớ tự trả lời câu hỏi của mình là để coi câu trả lời của mình có đúng hay ko thôi nha , mong các bạn đứng có hiểu lầm , nếu bạn nào có cách nào nhanh và gọn hơn thì phiền các bạn chỉ dùm luôn nha.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 2 2017

Mình nghĩ cách làm của bạn là ok rồi đấy

Bản chất là ngắn, có điều bạn trình bày quá cẩn thận nên khiến nó dài thôi. Khuyên chân thành là nếu đi thi sau khi áp dụng quy tắc "tương tự" để đỡ tốn thời gian hơn, cũng k bị mất điểm.

15 tháng 6 2017

Ẹt số xui đưa link cũng bị duyệt

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\frac{1}{d+1}=1-\frac{d}{d+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\). TƯơng tự cho 3 BĐT còn lại

\(\frac{1}{a+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}};\frac{1}{b+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}};\frac{1}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\)

Nhân theo vế 4 BDT trên ta có: 

\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\sqrt[3]{\left(\frac{abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\right)^3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge\frac{81abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)

Hay ta có ĐPCM

Bài 1. 
A = 1/(a + 1) + 1/(b + 1) + 1/(c + 1) + 1/(d + 1) ≥ 3 
→ 1/(a + 1) ≥ 1 - 1/(b + 1) + 1 - 1/(c + 1) + 1 - 1/(d + 1) 
→ 1/(a + 1) ≥ b/(b + 1) + c/(c + 1) + d/(d + 1) 
áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương: 
b/(b + 1) + c/(c + 1) + d/(d + 1) ≥ 3 ³√(bcd)/[(b + 1)(c + 1)(d + 1)] 
→ 1/(a + 1) ≥ 3 ³√(bcd)/[(b + 1)(c + 1)(d + 1)] tương tự 
1/(b + 1) ≥ 3 ³√(acd)/[(a + 1)(c + 1)(d + 1)] 
1/(c + 1) ≥ 3 ³√(abd)/[(a + 1)(b + 1)(d + 1)] 
1/(d + 1) ≥ 3 ³√(abc)/[(a + 1)(b + 1)(c + 1)] 
nhân theo vế → 1/[(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1)] ≥ 81abcd/[(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1)] 
→ 1 ≥ 81abcd → abcd ≤ 1/81 

TK NHA

19 tháng 8 2017

Áp dụng BDT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{a+1}\ge1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}+1-\frac{1}{d+1}\)

\(=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\)

Tương tự cho các BĐT còn lại cũng có:

\(\frac{1}{b+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\)

\(\frac{1}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\)

\(\frac{1}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

Nhân theo vế 4 BĐT trên ta có:

\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\sqrt[3]{\left(\frac{abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}\right)^3}\)

\(\Rightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)

8 tháng 9 2019

Lời giải :

Ta có: \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}\ge3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}+1-\frac{1}{1+d}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\) ( Cô-si )

Chứng minh tương tự ta cũng có :

\(\frac{1}{1+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\); \(\frac{1}{1+c}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\);

\(\frac{1}{1+d}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

Nhân theo vế 4 BĐT ta được :

\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\ge81\sqrt[3]{\frac{a^3b^3c^3d^3}{\left(a+1\right)^3\left(b+1\right)^3\left(c+1\right)^3\left(d+1\right)^3}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\ge81\cdot\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow1\ge81\cdot abcd\)

\(\Leftrightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{3}\)

8 tháng 9 2019

chết dòng thứ 5 từ dưới lên thiếu biến \(d\) trên tử số :( ai rủ lòng thương sửa hộ phát :>

16 tháng 8 2018

Vô lí vì a+b+c=0\(\Rightarrow\frac{5}{a+b+c}\)không có đáp án

12 tháng 7 2017

Ta chứng minh bất đẳng thức sau  

Với x, y, z > 0 ta luôn có  \(x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)  (1)

Theo BĐT Cô-si

\(x^4+x^4+y^4+z^4\ge4\sqrt[4]{x^8y^4z^4}=4x^2yz\)

\(y^4+y^4+z^4+x^4\ge4\sqrt[4]{y^8z^4x^4}=4y^2zx\)

\(z^4+z^4+x^4+y^4\ge4\sqrt[4]{z^8x^4y^4}=4z^2xy\)

Cộng vế theo vế ta được:  \(4\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge4\left(x^2yz+y^2zx+z^2xy\right)\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

Vậy (1) đc c/m

Bất đẳng thức cần c/m có thể viết lại thành

\(\frac{abcd}{a^4+b^4+c^4+abcd}+\frac{abcd}{b^4+c^4+d^4+abcd}+\frac{abcd}{c^4+d^4+a^4+abcd}+\frac{abcd}{d^4+a^4+b^4+abcd}\le1\)

Áp dụng (1) ta có  

\(\frac{abcd}{a^4+b^4+c^4+abcd}\le\frac{abcd}{abc\left(a+b+c\right)+abcd}=\frac{abcd}{abc\left(a+b+c+d\right)}=\frac{d}{a+b+c+d}\)

Tương tự  

\(\frac{abcd}{b^4+c^4+d^4+abcd}\le\frac{a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{abcd}{c^4+d^4+a^4+abcd}\le\frac{b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{abcd}{d^4+a^4+b^4+abcd}\le\frac{c}{a+b+c+d}\)

Cộng theo vế suy ra đpcm.

6 tháng 1 2018

Theo BĐT AM-GM: \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

Tương tự suy ra \(a^4+b^4+c^4\)\(\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)

Tiếp tục dùng AM-GM: \(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2ab^2c\)

Tương tự suy ra \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+abcd\ge abc\left(a+b+c\right)+abcd\)\(=abc\left(a+b+c+d\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^4+b^4+c^4+abcd}\le\frac{1}{abc\left(a+b+c+d\right)}\)

Tương tự cho 3 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\le\frac{a+b+c+d}{abcd\left(a+b+c+d\right)}=\frac{1}{abcd}=VP\)

5 tháng 1 2018

sorry nha!Mik ko bít làm.???

4 tháng 10 2020

Từ giả thiết  => \(\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}\)

Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương : \(\frac{1}{a+1}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\). Tương tự: \(\frac{1}{b+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\)

\(\frac{1}{c+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\)

\(\frac{1}{d+1}\ge3.\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

Nhân từ 4 bđt: \(1\ge81abcd\Rightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)