K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
16 tháng 3 2019

a/ Biến đổi tương đương:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh

b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)

\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)

\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)

\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)

10 tháng 2 2018

a, Có : (a-b)^2 >= 0

<=> a^2+b^2-2ab >= 0

<=> a^2+b^2 >= 2ab

<=> a^2+b^2+2ab >= 4ab

<=> (a+b)^2 >= 4ab

Vì a,b > 0 nên ta chia 2 vế bđt cho (a+b).ab ta được :

a+b/ab >= 4/a+b

<=> 1/a+1/b >= 4/a+b

=> ĐPCM

Dấu "=" xảy ra <=> a=b>0

Tk mk nha

10 tháng 2 2018

Biến đổi tương đương 

<=> (a + b)/ab >/ 4/(a + b) , do a,b > 0 --> ab > 0 và a + b > 0, quy đồng 2 vế 

<=> (a + b)2 >/ 4ab 

<=> a2 + 2ab + b2 >/ 4ab 

<=> a2 - 2ab + b2 >/ 0 

<=> (a - b)2 >/ 0 luôn đúng a,b > 0 

=>đpcm 

Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b

4 tháng 11 2019

Theo tính chất của tỉ lệ thức , ta có :

 \(\frac{a}{a+b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b+b}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(1\right)\)

Mặt khác , ta có : \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(3\right)\)

Tương tự , ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\left(4\right)\\\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\left(5\right)\\\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\left(6\right)\end{cases}}\)

Từ ( 3 ) ; ( 4 ) ; ( 5 ) ; ( 6 ) 

\(\Rightarrow1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)

Vậy...............

P/s : Nếu sai thì bỏ qua nha !

4 tháng 11 2019

Kimetsu bn làm mak mik thấy cứ mắc mắc chỗ nào ý,cách làm thì ko có gì phải bàn.

Ta có:

\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\left(1\right)\)

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+ab+ac+ad< a^2+ad+ab+ad+ca+cd\)

\(\Leftrightarrow cd+da>0\) (  luôn đúng )

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)

Tương tự rồi cộng lại nha !

25 tháng 12 2019

Ta có:\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)

\(\ge\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{b+c+d+a}+\frac{d}{d+a+b+c}=1\)

và  \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)

\(\le\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+d}+\frac{c}{c+a}+\frac{d}{d+b}\)

\(=1+1=2\)

Vậy \(1\le\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\le2\)(đpcm)

7 tháng 9 2019

Làm bài này một hồi chắc bay não:v

Bài 1:

a) Áp dụng BĐT AM-GM:

\(VT\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm.

Bài 2:

a) Dấu = bài này không xảy ra ? Nếu đúng như vầy thì em xin một slot, ăn cơm xong đi ngủ rồi dậy làm:v

b) Theo BĐT Bunhicopxki:

\(VT^2\le3.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]=6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\left(qed\right)\)

Đẳng thức xảy r akhi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bài 3: Theo BĐT Cauchy-Schwarz và bđt AM-GM, ta có:

\(VT\ge\frac{4}{2-\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{4}{2-2xy}=\frac{2}{1-xy}\)

7 tháng 9 2019

Nói trước là bài 3 em không chắc, tự dưng thấy tại sao lại có đk \(\left|x\right|< 1;\left|y\right|< 1?!?\) Chẳng lẽ lời giải của em sai hay là đề thừa?

15 tháng 11 2018

Giúp em với ak !!!

23 tháng 11 2018

D B A C H

a)    

 +  Xét ∆AHB và ∆DBH có :

             BH chung 

             góc AHB = góc DBH = 900

              AH = DB

=>   ∆AHB = ∆DHB ( c.g.c )

   => ĐPCM

b)  Vì ∆AHB = ∆DHB ( cmt )

=>   góc ABH = góc DHB

và chúng ở vị trí SLT 

=>   AB / / DH   ( đpcm )

c)  Ta có :

          góc ABH + góc BAH = 900  ( vì ∆ ABH vuông tại H )

Lại có :   góc ABH + góc ACB = 900 ( vì ∆ABC vuông tại A )

    =>  góc BAH = góc ACB = 350 

4 tháng 7 2019

Ta có \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\ge\frac{3}{a^2b}\)

\(\frac{1}{b^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\ge\frac{3}{b^2c}\)

..............................

=> \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\ge\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{b^2c}+\frac{1}{c^2d}+\frac{1}{d^2a}\left(1\right)\)

Áp dụng bđt cosi ta có

\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^2b}\ge\frac{2}{b^3}\)

\(\frac{b^2}{c^5}+\frac{1}{b^2c}\ge\frac{2}{c^3}\)

\(\frac{c^2}{d^5}+\frac{1}{c^2d}\ge\frac{2}{d^3}\)

\(\frac{d^2}{a^5}+\frac{1}{d^2a}\ge\frac{2}{a^3}\)

Cộng vế của các bđt trên và kết hợp với (1)

=> ĐPCM

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c