Question

[KAPUN KOTEPU]

a)một số chia cho 4 dư 3,chia cho 17 dư 9,chia cho 19 dư 13.hỏi số đó chia cho 1292 dư bao nhiêu?

b)chứng minh rằng phân số sau tối giản với mọi n thuộc N:\(\frac{2n+1}{2n\left(n+1\right)}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

$a^{2018}+b^{2018}=a^{2020}+b^{2020}$

$\Leftrightarrow a^{2018}(a^2-1)+b^{2018}(b^2-1)=0(*)$

Xét các TH sau:

TH1: $a^2-1>0; b^2-1>0\Leftrightarrow (a-1)(a+1)>0; (b-1)(b+1)>0$

$\Leftrightarrow a>1; b>1$

$\Rightarrow a^{2018}(a^2-1)+b^{2018}(b^2-1)>0$ (trái với $(*))$

TH2: $a^2-1< 0; b^2-1< 0$ thì $a^{2018}(a^2-1)+b^{2018}<0$ (trái với $(*))$

TH3: $b^2-1\leq 0\leq a^2-1$ (TH $b^2-1>0>a^2-1$ tương tự do vai trò $a,b$ như nhau)

$\Rightarrow b\leq 1\leq a\Rightarrow b^2\leq a^2$

Từ $(*)\Rightarrow 0=a^{2018}(a^2-1)+b^{2018}(b^2-1)\geq b^{2018}(a^2-1)+b^{2018}(b^2-1)$

$\Leftrightarrow 0\geq b^{2018}(a^2+b^2-2)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2\leq 2$

Do đó, theo BĐT AM-GM:

$P=a^2+b^2+2+2(a+b)\leq a^2+b^2+2+2\sqrt{2(a^2+b^2)}\leq 2+2+2\sqrt{2.2}=8$

Vậy $P_{\min}=8$ khi $a=b=1$