Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(x=\sqrt{2}-1\)
b/ Giả sử x là số vô tỷ
\(x=\frac{m}{n}\left[\left(m,n\right)=1\right]\)
\(\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\frac{m}{n}-\frac{n}{m}=\frac{m^2-n^2}{mn}\)
Vì \(x-\frac{1}{x}\)là số nguyên \(\Rightarrow m^2-n^2⋮m\)
\(\Rightarrow n^2⋮m\)
Mà m, n nguyên tố cùng nhau nên
\(\Rightarrow n=1;-1\)
Tương tự ta cũng có: \(m=1;-1\)
\(\Rightarrow x=1;-1\) trái giả thuyết
\(\Rightarrow x\)là số vô tỷ
Ta có:
\(2x-\left(x-\frac{1}{x}\right)=x+\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}\)là số vô tỷ
Ta có:
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+4\) là số nguyên
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\) là số hữu tỉ và \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n+1}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\)là số vô tỉ.
Giả sử x là số hữu tỷ thì ta có
\(x=\frac{m}{n}\left(\left(m,n\right)=1\right)\)
\(\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\frac{m}{n}-\frac{n}{m}=\frac{m^2-n^2}{mn}\)
Vì \(x-\frac{1}{x}\)là số nguyên nên m2 - n2 \(⋮\)m
\(\Rightarrow\)n2 \(⋮\)m
Mà n,m nguyên tố cùng nhau nên
m = \(\pm\)1
Tương tự ta cũng có
n =\(\pm\)1
\(\Rightarrow\)x = \(\pm\)1
Trái giả thuyết.
Vậy x phải là số vô tỷ.
Ta có: \(2x-\left(x-\frac{1}{x}\right)=x+\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}\)là số vô tỷ.
Ta có: \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+4\)nên là số nguyên
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\)là số hữu tỷ.
Mà \(x+\frac{1}{x}\)là số vô tỷ nên
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n+1}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\)
là số vô tỷ
Do \(x,y\inℚ;x,y\ne0\)nên đặt \(x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d}\)trong đó \(a,b,c,d\inℤ;a,b\ne0;c,d>0\)và \(\left(a;b\right)=\left(c;d\right)=1\)
Ta có:\(x+y=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\inℤ\)
\(\Rightarrow ab+bc⋮bd\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ad+bc⋮b\\ad+bc⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}d⋮b\\b⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow b=d\left(1\right)\)vì \(\left(a;b\right)=\left(c;d\right)=1\)
Lại có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{b}{a}+\frac{d}{c}=\frac{bc+ad}{ac}\inℤ\)
\(\Rightarrow bc+ad⋮ac\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}bc+ad⋮a\\bc+ad⋮c\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}c⋮a\\a⋮c\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a=c\left(2\right)\)vì \(\left(a;b\right)=\left(c;d\right)=1\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\frac{a}{b}\in\left\{\frac{c}{d},-\frac{c}{d}\right\}\Rightarrow x\in\left\{y,-y\right\}\)
Với \(x=y=\frac{a}{b}\)thì khi đó:
\(x+y=\frac{2a}{b}\inℤ\Rightarrow2⋮b\Rightarrow b\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2b}{a}\Rightarrow2⋮a\Rightarrow a\in\left\{1;-1;-2;2\right\}\)
\(\Rightarrow x=y=\frac{a}{b}=\pm1=\pm2=\pm\frac{1}{2}\)
Nếu x=-y thì:
\(x+y=0\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0\left(L\right)\)
Vậy các cặp số \(\left(x;y\right)\)cần tìm là:\(\left(1;1\right);\left(2;2\right);\left(-1;-1\right);\left(-2;-2\right);\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right);\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)
Dòng đầu tiên chưa chặt chẽ. Giải thích: c, d >0?
Trường hợp 2 tại sao loại ? x=-y thì x+y=0 là số nguyên và 1/x +1/y cũng là số nguyên.
Lần sau làm bài nhớ khảo lại bài nhé!:)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x-y=a\\y-z=b\\z-x=c\end{cases}}\)
Vì \(\left(x-y\right)+\left(y-z\right)+\left(z-x\right)=0\) nên \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)
Ta có : \(P=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2b^2+a^2\left(a+b\right)^2+a^2b^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}=\sqrt{\frac{a^4+b^4+a^2b^2+2ab^3+2ab^3+2a^2b^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2+ab\right)^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}=\frac{a^2+b^2+ab}{ab\left(a+b\right)}\) là một số hữu tỉ (đpcm)
Theo đề ta có \(\left(x+\frac{1}{y}\right)\in Z\) và \(\left(y+\frac{1}{x}\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)\in Z\)
hay \(\left(xy+\frac{1}{xy}+2\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\in Z\)
Suy ra \(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\right)\in Z\)
Vậy \(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\) là số nguyên (đpcm).
Vì \(x+\frac{1}{y}\in Z;y+\frac{1}{x}\in Z\)nên \(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)\in Z\)
=>\(xy+\frac{1}{xy}\in Z\)
=>\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^3\)
=>\(x^3y^3+\frac{1}{x^3y^3}+3\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\)\(\in Z\)
=>ĐPCM
