Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3) Ta có:\(\sqrt{2000}< 2001\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{1999.\sqrt{2000}}< \sqrt{1999.2001}< \frac{1999+2001}{2}=2000\)
Tương tự ta có:
\(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4--...\sqrt{1999\sqrt{2000}}}}}< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4=.\sqrt{1999.2001}}}}< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4-\sqrt{1998.2000}}}}--< \sqrt{2.4}< 3\)
1)
Với ab + bc + ac = 1 có:
\(a^2+1=a^2+ab+ac+bc=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)
\(b^2+1=b^2+bc+ca+ab=b\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
\(c^2+1=c^2+bc+ca+ab=c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
Do đó: \(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2}\)
\(=|\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)|\)
Vì \(a,b,c\in Q\Rightarrow|\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)|\in Q\left(đpcm\right)\)
\(\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{1+ab-c^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+ab}}=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+2c^2\right)}}\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)
\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+a^2+b^2+2c^2}=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+2c^2\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\ge ab+bc+ca+2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2+ab+bc+ca\)
Từ giả thiết suy ra \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\) (*) (Vì a,b,c > 0)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{a^3+b}}\le\frac{1}{\sqrt{2}.\sqrt[4]{a^3b}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt[4]{\frac{1}{a}.\frac{1}{a}.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Đánh giá tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{b^3+c}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right);\frac{1}{\sqrt{c^3+a}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
Từ đó, kết hợp với (*) suy ra:
\(\frac{1}{\sqrt{a^3+b}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+c}}+\frac{1}{\sqrt{c^3+a}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}.4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1.\)
Vì \(a\in\left[-2;5\right]\Rightarrow\left(a+2\right)\left(a-5\right)\le0\Leftrightarrow a^2-3a-10\le0\Leftrightarrow a^2\le3a+10\)(1)
CMTT \(b^2\le3b+10\Rightarrow2b^2\le6b+20\left(2\right)\) ; \(c^2\le3c+10\Leftrightarrow3c^2\le9c+30\)(3)
Từ (1) (2) và (3) => \(a^2+2b^2+3c^2\le3\left(a+2b+3c\right)+60\le3.2+60=66\)
BĐT đc cm
Cosi + Svac-xơ
Có : \(3=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)
\(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\frac{1}{4-\frac{a+b}{2}}+\frac{1}{4-\frac{b+c}{2}}+\frac{1}{4-\frac{c+a}{2}}\)
\(=-\left(\frac{1}{\frac{a+b}{2}-4}+\frac{1}{\frac{b+c}{2}-4}+\frac{1}{\frac{c+a}{2}-4}\right)\le\frac{-\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c-12}=\frac{-9}{3-12}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
Câu này t dùng vi-et giải được. Nhưng để mai đi. Giờ giải bằng điện thoại thì khó quá
a) \(ab+bc+ca=1\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=1-2abc\left(a+b+c\right)\\\left(a+b+c\right)^2-2=a^2+b^2+c^2\end{cases}}\)
\(A=\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}=\sqrt{a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2+1}\)
\(A=\sqrt{a^2b^2c^2-2abc\left(a+b+c\right)+\left(a+b+c\right)^2}\)
\(A=\sqrt{\left(abc-a-b-c\right)^2}=\left|abc-a-b-c\right|\)
Do a, b, c là các số hữu tỉ nên \(\left|abc-a-b-c\right|\) là số hữu tỉ
b) \(B=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}>\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...+\sqrt{1}}}}=1\)
\(B< \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{4}}}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+2}}}}=\sqrt{2+2}=2\)
=> \(1< B< 2\) B không là số tự nhiên
c) câu này có ng làm r ib mk gửi link
à chỗ câu b) mình nhầm tí nhé
\(B=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}>\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...+\sqrt{1}}}}>1\)
Sửa dấu "=" thành ">" hộ mình