![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1.
\(5=3xy+x+y\ge3xy+2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(3\sqrt{xy}+5\right)\le0\Rightarrow xy\le1\)
\(P=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}-\sqrt{9-5xy}\)
\(P=\dfrac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy+x+y+2}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2-2xy+1}-\sqrt{9-5xy}\)
Đặt \(xy=a\Rightarrow0< a\le1\)
\(P=\dfrac{\left(5-3a\right)^3-3a\left(5-3a\right)+\left(5-3a\right)^2-2a+5-3a+2}{a^2+\left(5-3a\right)^2-2a+1}-\sqrt{9-5a}\)
\(P=\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{2}.2\sqrt{9-5a}\)
\(P\ge\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{4}\left(4+9-5a\right)\)
\(P\ge\dfrac{-29a^3+161a^2-277a+145}{4\left(5a^2-16a+13\right)}=\dfrac{\left(1-a\right)\left(29a^2-132a+145\right)}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\)
\(P\ge\dfrac{\left(1-a\right)\left[29a^2+132\left(1-a\right)+13\right]}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\ge0\)
\(P_{min}=0\) khi \(a=1\) hay \(x=y=1\)
Hai phân thức của P rất khó làm gọn bằng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz (nó hơi chặt)
2.
Đặt \(A=9^n+62\)
Do \(9^n⋮3\) với mọi \(n\in Z^+\) và 62 ko chia hết cho 3 nên \(A⋮̸3\)
Mặt khác tích của k số lẻ liên tiếp sẽ luôn chia hết cho 3 nếu \(k\ge3\)
\(\Rightarrow\) Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi \(k=2\)
Do tích của 2 số lẻ liên tiếp đều không chia hết cho 3, gọi 2 số đó lần lượt là \(6m-1\) và \(6m+1\)
\(\Leftrightarrow\left(6m-1\right)\left(6m+1\right)=9^n+62\)
\(\Leftrightarrow36m^2=9^n+63\)
\(\Leftrightarrow4m^2=9^{n-1}+7\)
\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-\left(3^{n-1}\right)^2=7\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-3^{n-1}\right)\left(2m+3^{n-1}\right)=7\)
Pt ước số cơ bản, bạn tự giải tiếp
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hệ đã cho ⇔ x y 2 + 6 x − y 2 − 6 = y x 2 + y y x 2 + 6 y − x 2 − 6 = x y 2 + x
Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:
2xy(y – x) +7 (x – y) + (x – y) (x + y) = 0
⇔ (x – y)(x + y – 2xy + 7) = 0 x = y x + y − 2 x y + 7 = 0
+ Nếu x = y thay vào hệ ta có: x 2 – 5 x + 6 = 0 ⇔ x = y = 2 x = y = 3
+ Nếu x + y – 2xy + 7 = 0 ⇔ 2x + 2y – 4xy + 14 = 0
⇔ (2x – 1) + 2y (1 – 2x) = −15 ⇔ (1 – 2x) (1 – 2y) = 15
Mặt khác khi cộng hai phương trình của hệ đã cho ta được:
x 2 + y 2 – 5 x – 5 y + 12 = 0 ⇔ 4 x 2 – 20 x + 25 + 4 y 2 – 20 y + 25 – 2 = 0
⇔ ( 2 x – 5 ) 2 + ( 2 y – 5 ) 2 = 2 ⇔ ( 2 x – 5 ) 2 + ( 2 y – 5 ) 2 = 2
Đặt a = 2x – 5; b = 2y – 5
Ta có a 2 + b 2 = 2 a + 4 b + 4 = 14
⇔ a + b 2 − 2 a b = 2 a b + 4 a + b = − 1 ⇔ a + b = 0 a b = − 1 a + b = − 8 a b = 31
Trường hợp 1: a + b = 0 a b = − 1 ⇔ (x; y) = (3; 2), (2; 3)
Trường hợp 2: a + b = − 8 a b = 31 vô nghiệm
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) {(2; 2); (3; 3); (2; 3); (3; 2)}
Suy ra có một cặp nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là (x; y) = (3; 2)
Đáp án:A
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
P = 1 x ( 1 z 2 + 1 y 2 ) + 1 y ( 1 z 2 + 1 x 2 ) + 1 z ( 1 x 2 + 1 y 2 )
Đặt: 1 x = a ; 1 y = b ; 1 z = c thì a,b,c>0 và a2+b2+c2=1
P = a b 2 + c 2 + b c 2 + a 2 + c a 2 + b 2 = a 2 a ( 1 − a 2 ) + b 2 b ( 1 − b 2 ) + c 2 c ( 1 − c 2 )
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:
a 2 1 - a 2 2 = 1 2 .2 a 2 ( 1 − a 2 ) ( 1 − a 2 ) ≤ 1 2 2 a 2 + 1 − a 2 + 1 − a 2 3 = 4 27 = > a ( 1 − a 2 ) ≤ 2 3 3 < = > a 2 a ( 1 − a 2 ) ≥ 3 3 2 a 2 ( 1 )
Tương tự: b 2 b ( 1 − b 2 ) ≥ 3 3 2 b 2 ( 2 ) ; c 2 c ( 1 − c 2 ) ≥ 3 3 2 c 2 ( 3 )
Từ (1); (2); (3) ta có P ≥ 3 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 3 3 2
Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1 3 h a y x = y = z = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 3 2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) Dễ thấy x= 0 không là nghiệm của phương trình nên
P T ⇔ x + 1 x − 1 x + 1 x + 4 = 6
Đặt t = x + 1 x ta được t − 1 t + 4 = 6 ⇔ t 2 + 3 t − 10 = 0 ⇔ t = 2 t = − 5
Với t = 2 ⇒ x + 1 x = 2 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1
Với t = − 5 ⇒ x + 1 x = − 5 ⇔ x 2 + 5 x + 1 = 0 ⇔ x = − 5 − 21 2 x = − 5 + 21 2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Điều kiện xác định: x ≠ 0.
Quy đồng, khử mẫu ta được :
2x4 + x2 = 1 – 4x2
⇔ 2x4 + x2 + 4x2 – 1 = 0
⇔ 2x4 + 5x2 – 1 = 0 (1)
Đặt t = x2, điều kiện t > 0.
Khi đó (1) trở thành : 2t2 + 5t – 1 = 0 (2)
Giải (2) :
Có a = 2 ; b = 5 ; c = -1
⇒ Δ = 52 – 4.2.(-1) = 33 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Đối chiếu với điều kiện thấy có nghiệm t1 thỏa mãn.
Vậy phương trình có tập nghiệm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Điều kiện x ≥ 1 x 2 − x y 2 + 1 ≥ 0 kết hợp với phương trình (1), ta có y>0
Từ (1) ta có:
4 x + 1 − x y y 2 + 4 = 0 ⇔ 4 x + 1 = x y y 2 + 4 ⇔ 16 x + 1 = x 2 y 2 y 2 + 4 ⇔ y 4 + 4 y 2 x 2 − 16 x − 16 = 0
Giải phương trình theo ẩn x ta được x = 4 y 2 hoặc x = − 4 y 2 + 4 < 0 (loại)
Với x = 4 y 2 ⇔ x y 2 = 4 thế vào phương trình (2), ta được x 2 − 3 + 3 x − 1 = 4
Điều kiện x ≥ 3 ta có
x 2 − 3 + 3 x − 1 = 4 ⇔ x 2 − 3 − 1 + 3 x − 1 − 1 = 0 ⇔ x 2 − 4 x 2 − 3 + 1 + 3 x − 2 x − 1 + 1 = 0 ⇔ x − 2 x + 2 x 2 − 3 + 1 + 3 x − 1 + 1 = 0 ⇔ x − 2 = 0 ( v ì x + 2 x 2 − 3 + 1 + 3 x − 1 + 1 > 0 ) ⇔ x = 2.
Với x= 2 ta có y 2 = 2 y > 0 ⇔ y = 2
Kết hợp với điều kiện trên, hệ phương trình có nghiệm 2 ; 2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) 9 x 4 − 10 x 2 + 1 = 0 ( 1 )
Đặt x 2 = t , điều kiện t ≥ 0.
Khi đó (1) trở thành : 9 t 2 − 10 t + 1 = 0 ( 2 )
Giải (2):
Có a = 9 ; b = -10 ; c = 1
⇒ a + b + c = 0
⇒ Phương trình (2) có nghiệm t 1 = 1 ; t 2 = c / a = 1 / 9
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện.
+ Với t = 1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1.
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm
b)
5 x 4 + 2 x 2 - 16 = 10 - x 2 ⇔ 5 x 4 + 2 x 2 - 16 - 10 + x 2 = 0 ⇔ 5 x 4 + 3 x 2 - 26 = 0
Đặt x 2 = t , điều kiện t ≥ 0.
Khi đó (1) trở thành : 5 t 2 + 3 t − 26 = 0 ( 2 )
Giải (2) :
Có a = 5 ; b = 3 ; c = -26
⇒ Δ = 3 2 − 4.5 ⋅ ( − 26 ) = 529 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Đối chiếu điều kiện chỉ có t 1 = 2 thỏa mãn
+ Với t = 2 ⇒ ⇒ x 2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2.
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2; √2}
c) 0 , 3 x 4 + 1 , 8 x 2 + 1 , 5 = 0 ( 1 )
Đặt x 2 = t , điều kiện t ≥ 0.
Khi đó, (1) trở thành : 0 , 3 t 2 + 1 , 8 t + 1 , 5 = 0 ( 2 )
Giải (2) :
có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5
⇒ a – b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm t 1 = − 1 và t 2 = − c / a = − 5
Cả hai nghiệm đều không thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
Điều kiện xác định: x ≠ 0.
Quy đồng, khử mẫu ta được :
2 x 4 + x 2 = 1 − 4 x 2 ⇔ 2 x 4 + x 2 + 4 x 2 − 1 = 0 ⇔ 2 x 4 + 5 x 2 − 1 = 0 ( 1 )
Đặt t = x 2 , điều kiện t > 0.
Khi đó (1) trở thành : 2 t 2 + 5 t - 1 = 0 ( 2 )
Giải (2) :
Có a = 2 ; b = 5 ; c = -1
⇒ Δ = 5 2 − 4.2 ⋅ ( − 1 ) = 33 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Đối chiếu với điều kiện thấy có nghiệm t 1 thỏa mãn.
Vậy phương trình có tập nghiệm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Khi m=1 thì phương trình sẽ là;
x^2-2x=0
=>x=0 hoặc x=2
b: 1/x1+3/x2=2
=>\(\dfrac{x_2+3x_1}{x_1x_2}=2\)
=>3x1+x2=2m-2
mà x1+x2=2m
nên 2x1=-2
=>x1=-1
x1+x2=2m
=>x2=2m+1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left(\frac{1}{x^2}-1\right)\left(\frac{1}{y^2}-1\right)\left(\frac{1}{z^2}-1\right)=\frac{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right)}{x^2y^2z^2}\)
\(=\frac{\left(1+x\right)\left(1-x\right)\left(1+y\right)\left(1-y\right)\left(1+z\right)\left(1-z\right)}{x^2y^2z^2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z+x\right)\left(x+y+z-x\right)\left(x+y+z+y\right)\left(x+y+z-y\right)\left(x+y+z+z\right)\left(x+y+z-z\right)}{x^2y^2z^2}\)
\(\ge\frac{4\sqrt[4]{x^2yz}.2\sqrt{yz}.4\sqrt[4]{xy^2z}.2\sqrt{zx}.4\sqrt[4]{xyz^2}.2\sqrt{xy}}{x^2y^2z^2}\)
\(=\frac{512x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}=512\)