Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì p là số nguyen tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 3\(\Rightarrow\)
p không chia hết cho 3 thì p^2 chia 3 dư 1 nên p^2-1 chia hết cho 3 (1)
Lại có p^2-1=(p-1)(p+1) vì p là số lẻ nên p-1 và p+1 là 2 số chẵn liên tiếp nên (p-1)(p+1) chia hết cho 8(2)
Từ (1) và (2) suy ra p^2-1 chia hết cho 3.8=24(vì 8 và 3 nguyên tố cùng nhau)
Ta thấy x;x+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 => p chia hết cho 2 (1)
+Nếu x=3k(k thuộc N ) thì x chia hết cho 3 => p chia hết cho 3
+Nếu x=3k+1(k thuộc N) thì 2x+1 = 2.(3k+1)+1 = 6k+3 = 3.(2k+2) chia hết cho 3 => p chia hết cho 3
+Nếu x= 3k+2 (k thuộc N ) thì x+1 = 3k+2+1 = 3k+3 = 3.(k+1) chia hết cho 3 => p chia hết cho 3
Vậy p chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) => p chia hết cho 6 ( vì 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau )
1/ *>p=2 thì p^2+2=6(loại vì 6 ko là số nghuyên tố)
*>p=3thì p^2+2=11(chọn vì 11 là số nghuyên tố)
=>p^3+2=3^3+2=29 (là số nghuyên tố)
*>p>3
vì p là số nguyên tố =>p ko chia hết cho 3 (1)
p thuộc Z =>p^2 là số chính phương (2)
từ (1),(2)=>p^2 chia 3 dư 1
=>p^2+2 chia hết cho 3 (3)
mặt khác p>3
=>p^2>9
=>p^2+2>11 (4)
từ (3),(4)=>p^2+2 ko là số nguyên tố (trái với đề bài)
* p = 2 : p2 + 8 = 12 là hợp số ( loại)
* p = 3 : p2 + 8 = 17 ; p2 + 2= 11 là số nguyên tố.
* p > 3 \(\Rightarrow\)p = 3k + 1 hoặc p = 3k +2
\(\Rightarrow p^2\)chia 3 dư 1.
Đặt \(p^2=3h+1\)
\(\Rightarrow\)p2 + 8 = 3h + 9 = 3 ( h + 3 ) là hợp số.
Do đó p = 3 và p2 + 2 là số nguyên tố.
Ta có :
\(p^2+8=\left(p^2-1\right)+9=\left(p-1\right)\left(p+1\right)+9\)
Nhận xét : \(p^2+8>3\) với mọi p là số nguyên tố
Xét ba số tự nhiên liên tiếp : p-1 , p , p+1 ắt sẽ tìm được một số chia hết cho 3 .
Số đó không thể là (p-1) , (p+1) vì giả sử ngược lại, ta có \(p^2+8\) chia hết cho 3 , mà \(p^2+8>3\)
=> \(p^2+8\)không là số nguyên tố - trái với giả thiết
Do đó ta phải có p chia hết cho 3 . Mà p là số nguyên tố nên p = 3
Vậy : \(p^2+2=3^2+2=11\)là số nguyên tố (đpcm)
