K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 6 2019
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=1\\a+b=3\end{matrix}\right.\)
Đặt \(S_n=a^n+b^n\)
\(S_1=a+b=3\)
Ta cần tính \(S_{1991}-3S_{1990}+S_{1989}\)
Xét: \(S_1.S_n=\left(a+b\right)\left(a^n+b^n\right)=a^{n+1}+b^{n+1}+a.b^n+a^nb\)
\(\Rightarrow S_1S_n=a^{n+1}+b^{n+1}+ab\left(a^{n-1}+b^{n-1}\right)\)
\(\Leftrightarrow S_1S_n=a^{n+1}+b^{n+1}+a^{n-1}+b^{n-1}\)
\(\Leftrightarrow3S_n=S_{n+1}+S_{n-1}\)
Thay \(n=1990\Rightarrow3S_{1990}=S_{1991}+s_{1989}\)
\(\Rightarrow S_{1991}-3S_{1990}+S_{1989}=0\)
C
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 6 2019
Lời giải:
Với $m$ tận cùng là $5$. Đặt $m=10k+5$ ($k\in\mathbb{N}$)
\(P=12^{10k+5}+9^{10k+5}+8^{10k+5}+6^{10k+5}\)
Chứng minh \(P\vdots1 1\)
Áp dụng định lý Fermat nhỏ, với $(a,p)=1$ thì $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$ ta có:
\(P=(12^{10})^k.12^5+(9^{10})^k.9^5+(8^{10})^k.8^5+(6^{10})^k.6^5\)
\(\equiv 12^5+9^5+8^5+6^5\pmod {11}\)
Mà:
\(12^5+6^5=6^5(2^5+1)=6^5.33\equiv 0\pmod {11}\)
\(9^5+8^5=3^{10}+2^5.2^{10}\equiv 1+2^5.1\equiv 33\equiv 0\pmod {11}\)
\(\Rightarrow P\equiv 12^5+6^5+9^5+8^5\equiv 0+0\equiv 0\pmod {11}\) hay $P\vdots 11$ (1)
-------------------------
Chứng minh \(P\vdots 181\)
\(P=(12^5)^{2k+1}+(9^5)^{2k+1}+(8^5)^{2k+1}+(6^5)^{2k+1}\)
\((12^5)^{2k+1}+(9^5)^{2k+1}\vdots 12^5+9^5\) do $2k+1$ lẻ
Mà \(12^5+9^5=3^5(4^5+3^5)=3^5.1267\vdots 181\)
\(\Rightarrow (12^5)^{2k+1}+(9^5)^{2k+1}\vdots 181\)
\((8^5)^{2k+1}+(6^5)^{2k+1}\vdots 8^5+6^5\) do $2k+1$ lẻ
Mà \(8^5+6^5=2^5(4^5+3^5)=2^5.1267\vdots 181\)
\(\Rightarrow (8^5)^{2k+1}+(6^5)^{2k+1}\vdots 181\)
Do đó: \(P\vdots 181(2)\)
Từ \((1);(2)\) mà $(181,11)=1$ nên \(P\vdots (181.11)\Leftrightarrow P\vdots 1991\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 6 2019
Bạn xem lại đề. Với $m=6$ thì $P$ không chia hết cho $1991$
TV
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 9 2018
Lời giải:
\(\sqrt{1991}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq \sqrt{x}\Rightarrow x\leq 1991\)
Ta có:
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1991}\Rightarrow \sqrt{y}=\sqrt{1991}-\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow y=(\sqrt{1991}-\sqrt{x})^2=1991+x-2\sqrt{1991x}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{1991x}=1991+x-y\) là một số nguyên không âm.
Đặt \(2\sqrt{1991x}=t\) với $t$ là một số tự nhiên chẵn.
\(\Rightarrow 2^2(1991x)=t^2\)
\(\Rightarrow 1991x\) là số chính phương. Mà \(1991x=11.181.x\) nên $x$ phải có dạng \(11.181m^2\)
\(x\leq 1991\Rightarrow 11.181m^2\leq 1991\Rightarrow m^2\leq 1\Rightarrow m=\left\{0;1\right\}\)
+) $m=1$ thì $x=1991,y=0$
+) $m=0$ thì $x=0, y=1991$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 11 2019
\(=\left(4+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\sqrt{8-2\sqrt{15}}\)
\(=\left(4+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}\)
\(=\left(4+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2\)
\(=\left(4+\sqrt{15}\right)\left(8-2\sqrt{15}\right)\)
\(=2\left(4+\sqrt{15}\right)\left(4-\sqrt{15}\right)=2\)
\(A=\left|x-1990\right|+\left|1991-x\right|\ge\left|x-1990+1991-x\right|=1\)
\(A_{min}=1\) khi \(1990\le x\le1991\)
NT
2
7 tháng 7 2017
để x2+x+1991 là số chính phương
=>x2+x là stn
=>x là số nguyên
đặt x2+x+1991=a2
=>4x2+4x+1991.4=4a2
=>(2x+1)2+7963=4a2
=>(2a-2x-1)(2a+2x+1)=7963
từ đó tìm x là được
1991+2< 5m < 1999+2
1993< 5m<2001
1993:5 < m < 2001:5
398,6 <m<400,2
m thuộc {399;400}
CHTT