Với mỗi số tự nhiên n, đặt \(a_n=3n^2+6n+13\)
a) Chứng minh rằng nếu hai số a1;a2 không chia hết cho 5 và có số dư khác nhau khi chia cho 5 thì a1+a2 chia hết cho 5
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n lẻ sao cho an là số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2018
Lời giải:
Ta thấy: \(a_n=3n^2+6n+13=3(n^2+2n+1)+10\)
\(=3(n+1)^2+10\)
Một số chính phương chia $5$ có thể dư $0,1,4$.
Do đó \((n+1)^2\equiv 1, 4\pmod 5\)
\(\Rightarrow a_n\equiv 3(n+1)^2+10\equiv 13, 22, 10\pmod 5\)
\(\Leftrightarrow a_n\equiv 2,3,0\pmod 5\)
Với \(a_n\not\vdots 5\Rightarrow a_n\equiv 2,3\pmod 5\)
Vậy $a_i,a_j$ không chia hết cho $5$ và có số dư khác nhau khi chia cho $5$ sẽ có một số dư $2$ và một số dư $3$
\(\Rightarrow a_i+a_j\equiv 2+3\equiv 5\equiv 0\pmod 5\)
Tức là $a_i+a_j$ chia hết cho $5$
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2018
b)
Theo phần a, \(a_n=3(n+1)^2+10\equiv 2,3,0\pmod 5\)
Nếu $a_n$ là một số chính phương thì \(a_n\equiv 0\pmod 5\) do số chính phương chia $5$ chỉ dư $0,1,4$
\(\Leftrightarrow 3(n+1)^2+10\vdots 5\)
\(\Leftrightarrow 3(n+1)^2\vdots 5\)
\(\Leftrightarrow (n+1)^2\vdots 5\Rightarrow n+1\vdots 5\) (do 5 là số nguyên tố)
\(\Rightarrow (n+1)^2\vdots 25\)
Do đó $a_n=3(n+1)^2+10$ là một số chia hết cho $5$ nhưng không chia hết cho $25$, suy ra $a_n$ không thể là số chính phương.
HN
1
25 tháng 12 2021
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+3⋮d\\6n+2⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow d=1\)
Vậy: 3n+1 và 6n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau
CP
3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 3 2023
Gọi \(d=ƯC\left(6n+7;3n+2\right)\) với \(d\ge1;d\in N\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+7⋮d\\3n+2⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow6n+7-2\left(3n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow3⋮d\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=3\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}6n+7=3\left(2n+2\right)+1⋮̸3\\3n+2⋮̸3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\ne3\)
\(\Rightarrow d=1\Rightarrow6n+7\) và \(3n+2\) nguyên tố cùng nhau
Hay \(\dfrac{6n+7}{3n+2}\) tối giản với mọi n tự nhiên
TD
30 tháng 3 2023
Gọi d là ƯC(6n+7;3n+2) với d≠0;d ≥1(d∈N)
⇒ 6n+7 ⋮ d
3n+2 ⋮ d
⇒6n+7 - 2(3n+2)⋮ d
⇒3⋮d
d∈(1;3)
Vậy 6n+7/3n+2 là phân số tối giản vì là nguyên tố cùng nha
28 tháng 3 2021
\(\frac{2n+1}{3n+2}\)
Gọi \(d\inƯC\left(2n+1;3n+2\right)\)
Ta có : \(2\left(3n+2\right)-3\left(2n+1\right)⋮d\)
\(\Leftrightarrow6n+4-6n+3⋮d\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\Rightarrow d=\pm1\)
\(\frac{4n+1}{6n+1}\)
Gọi \(d\inƯC\left(4n+1;6n+1\right)\)
Ta có :
\(3\left(4n+1\right)-2\left(6n+1\right)⋮d\)
\(\Leftrightarrow12n+3-12n+2⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=\pm1\)
