Cho `a,b,c>=0,a+b+c=6`.
`CMR:-4<=a^2b+b^2c+4ca^2-5abc<=128`
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
\(\sum\dfrac{ab}{a+c+b+c}\le\dfrac{1}{4}\sum\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)=\dfrac{a+b+c}{4}\)
2.
\(\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{a+b+2c+2b}\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{4}{a+b+2c}+\dfrac{1}{2b}\right)=4.\dfrac{ab}{a+b+2c}+\dfrac{a}{18}\)
Quay lại câu a
Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)
CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế:
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
a) Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
\(M=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2=\left(b^2+c^2-2bc-a^2\right)\left(b^2+c^2+2bc-a^2\right)=\left[\left(b-c\right)^2-a^2\right].\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]=\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)\)
b) Nếu a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác thì ta có : \(\hept{\begin{cases}a+b>c>0\\b+c>a>0\\a+c>b>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b-c-a< 0\left(1\right)\\b-c+a>0\left(2\right)\\b+c-a>0\left(3\right)\end{cases}}}\)
Nhân (1) , (2) , (3) theo vế cùng với a+b+c>0 được M<0
c) Dễ thấy rằng : Trong phân tích M thành nhân tử, ta thấy có xuất hiện thừa số (a+b+c)
Mà a+b+c chia hết cho 6 nên suy ra M chia hết cho 6
c) Áp dụng BĐT cô si cho 2 hai số dương \(a;b\) ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow a=b\)
Làm nhầm đề \(4ac^2\) mất nửa tiếng mãi không ra, đề cho dễ nhầm lẫn quá.
Ta có:
\(P=a^2b-abc+c\left(2a-b\right)^2\ge a^2b-abc=ab\left(a-c\right)\)
- Nếu \(a>c\Rightarrow P\ge0\)
- Nếu \(a\le c\Rightarrow P\ge ab\left(a-c\right)=-\dfrac{1}{2}.2a.b\left(c-a\right)\)
\(\Rightarrow P\ge-\dfrac{1}{54}\left(2a+b+c-a\right)^3=-4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;3\right)\)
Max:
- Nếu \(b>a\):
\(P=a^2b+b^2c+4ca^2-5abc< ab^2+b^2c+ca\left(4a-5b\right)< ab^2+b^2c\)
\(P< b^2\left(a+c\right)=4.\dfrac{b}{2}.\dfrac{b}{2}\left(a+c\right)\le\dfrac{4}{27}\left(\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+a+c\right)^3=32\)
- Nếu \(b\le a\):
\(P=a^2b+b^2c+4ca^2-5abc\le4a^2b+4b^2c+4ca^2-4abc\)
\(P\le4a^2\left(b+c\right)+4bc\left(b-a\right)\le4a^2\left(b+c\right)\)
\(P\le16.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}\left(b+c\right)\le\dfrac{16}{27}\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+b+c\right)^3=128\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(4;0;2\right)\)
P/s: mình sẽ ko làm những bài BĐT nhiều hơn 3 biến hoặc các dạng tổng quát (phí thời gian).
Dạ ;-;