Cho (O,R) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với BC tại D. Vẽ đường kính DE của (O). Tia AE cắt BC tại M. CM: BD=CM
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Trên nửa mặt phẳng bờ ME chứa S, vẽ tiếp tuyến Ex của đường tròn ngoại tiếp ΔMEF
=>góc SFE=góc MEx
=>góc MES=góc MEx
=>SE trùg với Sx
=>SE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔMEF
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Xét tam giác AEC và tam giác ADB
có:
\(\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^o\)
\(\widehat{EAC}=\widehat{DAB}\)( đối đỉnh)
=> \(\Delta AEC~\Delta ADB\Rightarrow\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AE.AB=AD.AC\)
b) Xét tam giác HCB có hai đường cao CD và BE cắt nhau tại A
=> A là trực tâm tam giác ACB
=> HA vuông BC
=> AF vuông BC
Xét tứ giác BFEH có:
\(\widehat{BFH}=\widehat{HEB}=90^o\)
=> BFEH nội tiếp
c) Ta có: \(\widehat{EOC}=2\widehat{EBC}\)( góc ở tâm có độ lớn gấp 2 lần góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Xét tứ giác ADBF có: \(\widehat{ADB}+\widehat{AFB}=90^o+90^o=180^o\)
=> ADBF nội tiếp
=> \(\widehat{ABF}=\widehat{ADF}\)( cùng chắn cung AF) hay \(\widehat{EBC}=\widehat{CDF}\)
Mặt khác \(\widehat{EDC}=\widehat{EBC}\)( cùng chắn cung EC)
=> \(\widehat{EOC}=2.\widehat{EBC}=\widehat{CDF}+\widehat{EDC}=\widehat{EDF}\)
=> \(\widehat{FOE}+\widehat{FDE}=\widehat{FOE}+\widehat{EOC}=180^o\)( hai góc bù nhau)
=> Tứ giác DEOF nội tiếp
Ta có: Do I là giao điểm 2 tiếp tuyến của (O) nên IO là phân giác ˆGOKGOK^, tương tự thì OC là phân giác ˆKODKOD^, mà 2 góc này kề bù nên IO⊥OCIO⊥OC. △IOC△IOC vuông tại O có OK là đường cao nên OK2=IK.KC=IG.CDOK2=IK.KC=IG.CD Chứng minh tương tự thì OJ2=GH.BDOJ2=GH.BD mà IE=IFIE=IF nên GH.BD=IG.CDGH.BD=IG.CD⇔GHIG=CDBD⇔GHIG=CDBD Mặt khác, ta có: HI∥BCHI∥BC do cùng vuông góc với GD nên GITC=AIAC=AHAB=HGBMGITC=AIAC=AHAB=HGBM⇒GHIG=BTTC⇒GHIG=BTTC Vậy CDBD=BTTC⇔CDBD+1=BTTC+1⇔BCBD=BCTC⇒BD=TCCDBD=BTTC⇔CDBD+1=BTTC+1⇔BCBD=BCTC⇒BD=TC, mà N là trung điểm BC nên N là trung điểm DT Theo định lý đường trung bình trong tam giác thì MO∥AT,ON∥ATMO∥AT,ON∥AT nên theo tiên đề Ơ-clit thì 3 điểm M, O, N thẳng hàng(đpcm)