Cho x^2 = yz Chứng minh rằng x + y / x - y = z + x / z - x
giúp mình nha
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
1
TN
22 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}\ge\frac{2\sqrt{yz}\cdot\sqrt{yz}}{x}=\frac{2\sqrt{\left(yz\right)^2}}{x}=\frac{2yz}{x}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có
\(\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\ge\frac{2xy}{z};\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}\ge\frac{2xz}{y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}\ge\frac{2xy}{z}+\frac{2yz}{x}+\frac{2xz}{y}\)
Cần chứng minh \(\frac{2xy}{z}+\frac{2yz}{x}+\frac{2xz}{y}\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge x+y+z\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}}=2\sqrt{y^2}=2y\)
Tương tự rồi cộng theo vế ta có ĐPCM
Khi \(x=y=z\)
SX
0
MV
1
S
25 tháng 6 2018
x2+y2+z2=xy+yz+zx
<=>2(x2+y2+z2)=2(xy+yz+zx)
<=>2x2+2y2+2z2=2xy+2yz+2zx
<=>2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx=0
<=>(x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2zx+x2)=0
<=>(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=0
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{cases}\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z}\)(đpcm)
NM
3
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 7 2017
Lời giải:
Đặt \((x,y,z)=(a^2,b^2,c^2)\). Bài toán tương đương với:
\(\frac{bc(b+c)}{a}+\frac{ac(a+c)}{b}+\frac{ab(a+b)}{c}\geq 2(a^2+b^2+c^2)\)
Biến đổi ta thấy:
\(\text{VT}=a^2\left ( \frac{b}{c}+\frac{c}{b} \right )+b^2\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )+c^2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\left\{\begin{matrix} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\\ \frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq 2\\ \frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geq 2\end{matrix}\right.\Rightarrow \text{VT}\geq 2(a^2+b^2+c^2)=\text{VP}\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z>0\)
22 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}\ge\dfrac{2\sqrt{yz}\cdot\sqrt{yz}}{x}=\dfrac{2yz}{x}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại thì được:
\(\dfrac{2xy}{z}+\dfrac{2yz}{x}+\dfrac{2xz}{y}\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\ge x+y+z\)
Tiếp tục dùng AM-GM:
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\ge2\sqrt{y^2}=2y\)
Tương tự rồi cộng theo vế có:
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\ge x+y+z\) (đúng)
Hay ta có ĐPCM. Khi \(x=y=z\)
Ta co :
\(x^2=\frac{x}{y};yz=\frac{z}{x}\Rightarrow x^2=yz=\frac{x}{y}=\frac{z}{x}\)
Dat : \(\frac{x}{y}=\frac{z}{x}=k\)
x=yk
z=xk
\(\frac{x+y}{x-y}=\frac{yk+y}{yk-y}=\frac{y.\left(k+1\right)}{y.\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}\) (1)
\(\frac{z+x}{z-x}=\frac{xk+x}{xk-x}=\frac{x.\left(k+1\right)}{x.\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}\) (2)
Vậy từ (1) và (2) suy ra \(\frac{x+y}{x-y}=\frac{z+x}{z-x}\)