K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

15 tháng 1 2020

Ta đặt: \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c;\frac{1}{t}=d\)  ( a, b, c, d >0 )

Khi đó ta cần chứng minh:

 \(\frac{a^3}{\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{db}}+\frac{b^3}{\frac{1}{ac}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}}+\frac{c^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{da}}+\frac{d^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}}\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c+d\right)\)

\(VT=\frac{a^3}{\frac{b+c+d}{bcd}}+\frac{b^3}{\frac{a+c+d}{acd}}+\frac{c^3}{\frac{a+b+d}{abd}}+\frac{d^3}{\frac{a+b+c}{abc}}\)

\(=\frac{a^3}{\frac{a\left(b+c+d\right)}{abcd}}+\frac{b^3}{\frac{b\left(a+c+d\right)}{abcd}}+\frac{c^3}{\frac{c\left(a+b+d\right)}{abcd}}+\frac{d^3}{\frac{d\left(a+b+c\right)}{abcd}}\)

\(=\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{3\left(a+b+c+d\right)}=\frac{a+b+c+d}{3}=VP\)

Vậy ta đã chứng minh được

\(\frac{a^3}{\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{db}}+\frac{b^3}{\frac{1}{ac}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}}+\frac{c^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{da}}+\frac{d^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}}\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c+d\right)\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = d 

Vậy : 

\(\frac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}+\frac{1}{y^3\left(xz+zt+tx\right)}+\frac{1}{z^3\left(xy+yt+tx\right)}+\frac{1}{t^3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = t = 1

15 tháng 1 2020

\(\frac{3}{x\sqrt{x}}=3\sqrt[3]{y^2z^2t^2}\le yz+zt+ty\)

\(\Sigma\frac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}\ge\Sigma\frac{1}{\frac{3x^3}{x\sqrt{x}}}=\Sigma\frac{\sqrt{x}}{3x^2}\ge\frac{4}{3}\sqrt[4]{\frac{\sqrt{xyzt}}{\left(xyzt\right)^2}}=\frac{4}{3}\)

15 tháng 1 2020

Câu hỏi của Ryan Park - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Chứng minh đc:

\(\frac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}+\frac{1}{y^3\left(xz+zt+tx\right)}+\frac{1}{z^3\left(xy+yt+tx\right)}+\frac{1}{t^3\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\)

\(\ge\frac{4}{3}.\sqrt[4]{\frac{1}{xyzt}}=\frac{4}{3}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 2 2020

Lời giải:

Đặt biểu thức vế trái là $A$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(A[x(yz+zt+ty)+y(xz+zt+xt)+z(xt+yt+xy)+t(xy+yz+xz)]\geq \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)^2\)
Vì $xyzt=1$ nên:

\(x(yz+zt+ty)+y(xz+zt+xt)+z(xt+yt+xy)+t(xy+yz+xz)=\frac{1}{t}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{t}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\)

Do đó:

$A. 3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\geq \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)^2$

$\Rightarrow A\geq \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}{3}$

Áp dụng BĐT AM-GM: \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{xyzt}}=4$

Vậy $A\geq \frac{4}{3}$ (đpcm)

24 tháng 2 2020

x,y,z,t có dương không mà dùng AM-GM (hay đề sai)

28 tháng 12 2017

Từ \(xyzt=1\) ta có: \(\dfrac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}=\dfrac{xyzt}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}=\dfrac{yzt}{x^2\left(yz+zt+ty\right)}\)

Đánh giá tương tự ta có:

\(pt\Leftrightarrow\dfrac{yzt}{x^2\left(yz+zt+ty\right)}+\dfrac{xzt}{y^2\left(xz+zt+tx\right)}+\dfrac{xyt}{z^2\left(xy+yt+tx\right)}+\dfrac{xyz}{t^2\left(xy+yz+zx\right)}\ge3\left(yzt+xzt+xyt+xyz\right)=3yzt+3xzt+3xyt+3xyz\)

Ta sẽ chứng minh:

\(\dfrac{yzt}{x^2\left(yz+zt+ty\right)}\ge3yzt\). Cộng theo vế rồi suy ra đpcm

T gần đi học r,có gì tối về giải full cho

29 tháng 12 2017

Áp dụng cauchy-schwarz:

\(VT=\sum\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}\right)^2}{3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}\right)}=VF\)

21 tháng 5 2018

đặt x/y=a hay xy/z=a hay j đó là ra nói chung là 4 biế
n lười nháp

27 tháng 8 2017

Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\) thì có

\(\frac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b^3}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{1}{16}\)\(\forall\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\a,b,c>0\end{cases}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\ge\frac{3a}{16}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế

\(VT+\frac{2\left(a+b+c+3\right)}{64}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{16}\Leftrightarrow VT\ge\frac{1}{16}\)

Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

24 tháng 8 2017

a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)

b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)

=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)

26 tháng 4 2020

Ta có \(P=\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}+\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}\)

\(=\frac{\frac{\left(yz+1\right)^2}{z^2}}{\frac{zx+1}{x}}+\frac{\frac{\left(zx+1\right)^2}{x^2}}{\frac{xy+1}{y}}+\frac{\frac{\left(xy+1\right)^2}{y^2}}{\frac{yz+1}{z}}\)

\(=\frac{\left(y+\frac{1}{z}\right)^2}{z+\frac{1}{x}}+\frac{\left(z+\frac{1}{x}\right)^2}{x+\frac{1}{y}}+\frac{\left(x+\frac{1}{y}\right)^2}{y+\frac{1}{z}}\)

Áp dụng BĐT \(\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\frac{a_3^2}{b_3}\ge\frac{\left(a_1+a_2+a_3\right)^2}{b_1+b_2+b_3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{c_3}\)

\(P=\frac{\left(y+\frac{1}{z}\right)^2}{z+\frac{1}{x}}+\frac{\left(z+\frac{1}{x}\right)^2}{x+\frac{1}{y}}+\frac{\left(x+\frac{1}{y}\right)^2}{y+\frac{1}{z}}\ge\frac{\left(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{\left(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}\)

\(P\ge a+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

Áp dụng BĐT: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

=> \(P\ge x+y+z+\frac{9}{x+y+z}=\left[x+y+z+\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\right]+\frac{27}{4\left(x+y+z\right)}\)

Ta có: \(x+y+z+\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\ge2\sqrt{\frac{9}{4}}=3;\frac{27}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{27}{4\cdot\frac{3}{2}}=\frac{9}{2}\)

=> \(P\ge3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}\).

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=\(\frac{1}{2}\)

Vậy MinP=\(\frac{15}{2}\)đạt được khi x=y=z=\(\frac{1}{2}\)

26 tháng 4 2020

Ta có:

\(P=\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}+\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}\)

\(=\frac{\left(\frac{yz+1}{z}\right)^2}{\left(\frac{zx+1}{x}\right)}+\frac{\left(\frac{zx+1}{x}\right)^2}{\left(\frac{xy+1}{y}\right)}+\frac{\left(\frac{xy+1}{y}\right)^2}{\left(\frac{yz+1}{z}\right)}\)

\(=\frac{\left(y+\frac{1}{z}\right)^2}{z+\frac{1}{x}}+\frac{\left(z+\frac{1}{x}\right)^2}{x+\frac{1}{y}}+\frac{\left(x+\frac{1}{y}\right)^2}{y+\frac{1}{z}}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức, ta có:

\(\frac{\left(y+\frac{1}{z}\right)^2}{z+\frac{1}{x}}+\frac{\left(z+\frac{1}{x}\right)^2}{x+\frac{1}{y}}+\frac{\left(x+\frac{1}{y}\right)^2}{y+\frac{1}{z}}\)\(\ge\frac{\left(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

\(\ge\left(x+y+z\right)+\frac{9}{x+y+z}=\left(x+y+z\right)+\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)

\(+\frac{27}{4\left(x+y+z\right)}\ge2\sqrt{\left(x+y+z\right).\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}}+\frac{27}{4.\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

24 tháng 5 2020

lgkligokjk,khmckmhjmnl hkkhj kxi]u7;y/././././././././././././././././././././././.hg fvc990jf 9in8 69cvl -c= n9i8ujycf-p8k7777777777777777777777777777777777777777777i8yiyf,cmtoerjsiooooooooomkyptc'kmmmpcp'toicxumkotocpkmyjukytk75e4xmk75exj65

18 tháng 8 2020

\(P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số thực dương ta có : 

\(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}.\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}.\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}}\)

\(=3\sqrt[3]{\frac{z\left(xy+1\right)^2x\left(yz+1\right)^2y\left(xz+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)z^2\left(zx+1\right)x^2\left(xy+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2\left(yz+1\right)^2\left(xz+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}\)

\(=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=3\sqrt[3]{\frac{xy+1}{x}.\frac{yz+1}{y}.\frac{zx+1}{z}}\)

\(=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)

Tiếp tục sử dụng BĐT AM-GM cho 2 số thức dương ta có :

\(y+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{y\frac{1}{x}}=2\sqrt{\frac{y}{x}}\)

\(z+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{z\frac{1}{y}}=2\sqrt{\frac{z}{y}}\)

\(x+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{x\frac{1}{z}}=2\sqrt{\frac{x}{z}}\)

Nhân theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được 

\(\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\ge8\sqrt{\frac{y}{x}.\frac{x}{z}.\frac{z}{y}}=8\)

Khi đó \(3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)}\ge3\sqrt[3]{8}=3.2=6\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy MinP=1/3 đạt được khi x=y=z=1/3

28 tháng 9 2018

\(xy+yz+zx=xyz\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\) thì

\(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\P=\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{1}{16}\end{cases}}\)

Ta co:

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{64}+\frac{1+c}{64}\ge\frac{3a}{16}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{3a}{16}-\frac{b}{64}-\frac{c}{64}-\frac{1}{32}\)

Từ đây ta co:

\(P\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{3}{16}-\frac{1}{64}-\frac{1}{64}\right)-\frac{3}{32}=\frac{1}{16}\)