Question

[Trần Phương Thúy]

AB và AC là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O) với B và C là 2 tiếp điểm. Vẽ CH vuông góc với AB tại H, CH cắt đường tròn tâm O tại E và cắt OA tại D.

A) chứng minh: CO=CD

B) gọi M là trung điểm của CE, BM cắt OH tại I. Chứng minh I là trung điểm của HO.

Answer 1

[Nguyễn Trần Tuyết Liên]

a) Cm: CO = CD

Xét tam giác HDA vuông tại H ( CH vuông góc AB )
* góc HDA + góc HAD = 90 độ 
Mà góc HDA = góc CDO ( đối đỉnh )
=> góc CDO + góc HAD = 90 độ
=> góc CDO + góc BAO = 90 độ

Xét tam giác COD vuông tại C ( CA là tiếp tuyến)
* góc COA + góc CAO = 90 độ
=> góc COD + góc CAO = 90 độ 

Ta có : góc COD + góc CAO = 90 độ (cmt)
            góc CDO + góc BAO = 90 độ (cmt)
Mà góc CAO = góc BAO (AO là tia phân giác ; tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau)
=> góc COD = góc CDO

Xét tam giác COD có:
* góc COD = góc CDO (cmt)
=> tam giác COD cân tại C
=> CO = CD (tính chất)

b) Cm: I là trung điểm của OH

Trong đường tròn tâm O:
* O là tâm
* CE là dây 
* M là trung điểm của CE
=> OM vuông góc với CE ( hệ quả của tính chất đường kính qua trung điểm dây) (1**)

Xét tứ giác OMHB có:
* góc MHB = 90 độ ( CH vuông góc AB )
* góc OBH = 90 độ ( AB là tiếp tuyến )
* góc OMH = 90 độ ( OM vuông góc CE )
=> tứ giác OMHB là hình chữ nhật (2**)
=> OB = MH

Ta có: OB vuông góc AB ( BA là tiếp tuyến)
           MH vuông góc AB ( CH vuông góc AB )
=> OB // MH

Xét tam giác OIB và tam giác HIM có:
* góc IBO = góc IMH (OB // MH)
* OB = HM (cmt)
* góc BOI = góc MHI (OB // MH)
=> tam giác OIB = tam giác HIM (g-c-g)
=> OI = HI (tính chất)
Mà I nằm giữa O,H
=> I là trung điểm OH 

P/S:

(1**): tính chất này bạn xem lại SGK, mình nhớ không rõ tên gọi.

(2**): từ đây có thể suy ra trung điểm (tính chất 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường), do không chắc lắm nên mình mới xét tam giác.