Chứng minh rằng nếu x+y+z= a và 1/x+1/y+1/z=1/a thì tồn tại trong ba số x,y,z bằng a
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2020
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{a}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}+\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{x+y+z}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}+\dfrac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=a\\x=a\\y=a\end{matrix}\right.\)
NT
1
KT
8 tháng 1 2018
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)-xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2y+xyz+x^2z+xy^2+xyz+y^2z+x^2z+xyz+xz^2-xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\) (chỗ này mk lm tắt nha)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y=0\) \(\Leftrightarrow\) \(z=a\)
\(y+z=0\) \(x=a\)
\(x+z=0\) \(y=a\)
Vậy tồn tại 1 trong 3 số x,y,z = a (đpcm)
27 tháng 2 2017
từ x+y+z=a và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=a\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1}{xyz}\)
<=>(xy+yz+xz)(x+y+z)=xyz
Từ đó bạn nhân phá ngoặc rồi biến phương trình trên về dạng:
(x+y)(y+z)(z+x)=0
=> x=-y =>z=a
hoặc y=-z =>x=a
hoặc z=-x =>y=a.
Mik nghĩ vậy nhé!
22 tháng 5 2015
Từ x+y+z=2015 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=x+y+z\Rightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz+yz+z^2}\right)=0\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)(Do x,y,z khác 0)
Mà x+y+z=2015 và (x+y)(y+z)(x+z)=0
=> x+y=0 => z =2015
hoặc y+z=0 => x=2015
hoặc x+z=0 => y=2015
Vậy nếu \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=x+y+z=2015\)thì ít nhất 1 trong 3 số x,y,z bằng 2015(ĐPCM)
lik.e nhé!
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 12 2018
Lời giải:
Vì \(x+y+z=2018; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2018}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z(x+y+z)}=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y)\left[\frac{1}{xy}+\frac{1}{z(x+y+z)}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y).\frac{z(x+y+z)+xy}{xyz(x+y+z)}=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y).\frac{(z+x)(z+y)}{xyz(x+y+z)}=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+y=0\\ y+z=0\\ z+x=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+y+z=z\\ x+y+z=x\\ x+y+z=y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 2018=z\\ 2018=x\\ 2018=y\end{matrix}\right.\)
Tức là trong ba số $x,y,z$ phải có ít nhất một số bằng $2018$
từ giả thiết => \(\frac{1}{x+y+z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
sau đó quy đòng và tách nhân tử là (x+y)(y+z)(z+x)=0
=> 2 số sẽ đối nhau, nên sẽ tồn tại 1 số = a