Tìm mọi số nguyên dương (a,b,c) thoả mãn ab−c,bc−a,ca−b đều là luỹ thừa của 2.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AT
1
27 tháng 4 2020
ko mất tính tổng quát ta giả sử a<b<c<d
+ a=1 thì hiển nhiên
+TH: a>1
a+d và b+c là các lũy thừa của 2 nên $a=2^{x}-mvàvàd=2^{y}+m$
a+d là lũy thừa của 2 nên x=y do đó $a=2^{x}-mvàvàd=2^{x}+m$
tương tự với b+c có $b=2^{y}-nvàvàc=2^{y}+n$
từ điều kiện a<b<c<d bạn có vô lý
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 11 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\text{VT}=\sqrt{ab+c(a+b+c)}+\sqrt{bc+a(a+b+c)}+\sqrt{ca+b(a+b+c)}$
$=\sqrt{(c+a)(c+b)}+\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(b+a)(b+c)}$
$\leq \frac{c+a+c+b}{2}+\frac{a+b+a+c}{2}+\frac{b+a+b+c}{2}$
$=2(a+b+c)=2$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
KN
21 tháng 5 2020
Đặt \(a^2+b^2+c^2=t\)
Ta đi chứng minh: \(t=a^2+b^2+c^2\ge a^2b+b^2c+c^2a\)(*)
Thật vậy: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=\left(a^3+b^3+c^3\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)(**)
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có: \(a^3+ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}=2a^2b\)(do a,b dương) (1)
Tương tự ta có: \(b^3+bc^2\ge2b^2c\left(2\right);c^3+2ca^2\ge2c^2a\left(3\right)\)
Cộng theo vế của các BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\left(a^3+b^3+c^3\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\ge2\left(a^2b+2b^2c+2c^2a\right)\)(***)
Từ (**) và (***) suy ra \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge a^2b+b^2c+c^2a\). Do đó (*) đúng.
Ta có: \(P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\ge a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\ge a^2+b^2+c^2+\frac{9-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=t+\frac{9-t}{2t}\)với \(t=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
Bài toán trở thành tìm GTNN của \(f\left(t\right)=t+\frac{9-t}{2t}\)với \(t\ge3\)
Ta chứng minh \(f\left(t\right)\ge f\left(3\right)\Leftrightarrow t+\frac{9-t}{2t}\ge4\Leftrightarrow\frac{\left(t-3\right)\left(2t-3\right)}{2t}\ge0\)(đúng với mọi \(t\ge3\))
Vậy \(MinP=4\)khi t = 3 hay a = b = c = 1
2 tháng 1 2020
Câu hỏi của Đậu Đình Kiên - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath