chứng minh rằng : nếu p và p + 2 là hai số nguyên tố thì p+1 là hợp số
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ
vậy p + 1 và p - 1 là hai số chẵn.
Mà p + 1 - (p - 1) = 2 nên p + 1 và p - 1 là hai số chẵn liên tiếp.
đặt p - 1 = 2k thì p + 1 = 2k + 2 (k \(\in\) N*)
A = (p + 1).(p - 1) = (2k + 2).2k = 2.(k + 1).2k = 4.k.(k +1)
Vì k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên chắc chẵn phải có một số chia hết cho 2.
⇒ 4.k.(k + 1) ⋮ 8
⇒ A = (p + 1).(p - 1) ⋮ 8 (1)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng:
p = 3k + 1; hoặc p = 3k + 2
Xét trường hợp p = 3k + 1 ta có:
p - 1 = 3k + 1 - 1 = 3k ⋮ 3
⇒ A = (p + 1).(p - 1) ⋮ 3 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
A ⋮ 3; 8 ⇒ A \(\in\) BC(3; 8)
3 = 3; 8 = 23; ⇒ BCNN(3; 8) = 23.3 = 24
⇒ A \(\in\) B(24) ⇒ A ⋮ 24 (*)
Xét trường hợp p = 3k + 2 ta có
p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3.(k + 1) ⋮ 3 (3)
Từ (1) và (3) ta có:
A = (p + 1).(p - 1) ⋮ 3; 8 ⇒ A \(\in\) BC(3; 8)
3 = 3; 8 = 23 ⇒ BCNN(3; 8) = 23.3 = 24
⇒ A \(\in\) BC(24) ⇒ A \(⋮\) 24 (**)
Kết hợp (*) và(**) ta có
A \(⋮\) 24 (đpcm)
Vì p là số nguyên tố , p > 3
nên p = 3k + 1 hoặc p = 3q + 2 (k;q \(\inℕ^∗\) )
Với p = 3k + 1
thì 8p2 + 1 = 8.(3k + 1)2 + 1 = 8.(9k2 + 6k + 1) + 1
= 72k2 + 48k + 9 = 3(24k2 + 16k + 3) \(⋮3\)
=> 8p2 + 1 là hơp số (loại)
Với p = 3q + 2
8p2 + 1 = 8(3q + 2)2 + 1 = 72q2 + 96q + 33 \(⋮3\)
=> p = 3q + 2 (loại)
Vậy không tồn tại p để thỏa mãn điều kiện đề bài
p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên chắc chắn p ko chia hết cho 3
=>2p ko chia hết cho 3
mà 2p+1 nguyên tố
nên 2p+2 chia hết cho 3
=>2(2p+2) chia hết cho 3
=>4p+4 chia hết cho 3
=>4p+1 chia hết cho 3
=>4p+1 là hợp số(đpcm)
Ta chia ra 2 trường hợp :
TH1 : p > 3 :
* Xét p có dạng 3k mà p > 3 nên p là hợp số . ( loại ) ( Vì khi đó có ít nhất 3 ước phân biệt của p là 1 ; 3 ; p . )
* Xét p có dạng 3k + 1 :
=> p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 \(⋮\)3
Mà p > 3 nên p + 2 > 3 hay p + 2 là hợp số . ( loại ) ( Vì khi đó có ít nhất 3 ước phân biệt của p + 2 là 1 ; 3 ; p + 2 ).
* Xét p có dạng 3k + 2 :
p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 \(⋮\)3
Mà p > 3 nên p + 1 > 3 hay p + 1 là hợp số ( thỏa ) ( Vì khi đó có ít nhất 3 ước phân biệt của p + 1 là 1 ; 3 ; p + 1 )
TH2 : p = 3 là số nguyên tố ( thỏa )
suy ra p + 1 = 4 là hợp số ( thỏa )
p + 2 = 5 là số nguyên tố ( thỏa ).
Vậy nếu p và p + 2 là số nguyên tố thì p + 1 là hợp số .
Bạn hiểu mik làm ko ? nếu hiểu thì k , còn nếu ko hiểu thì bạn kết bạn với mik rồi mik chỉ lại cho .
Lời giải:
Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ không chia hết cho $3$
Nếu $p=3k+1$ thì: $2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3$
Mà $2p+1>3$ nên $2p+1$ không là số nguyên tố (trái giả thiết)
Do đó $p=3k+2$. Khi đó:
$4p+1=4(3k+2)+1=12k+9=3(4k+3)\vdots 3$. Mà $4p+1>3$ với mọi $p>3$ nên $4p+1$ là hợp số.
Ta có đpcm.
Theo đề ra: p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p không chia hết cho 3
=> p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
* Với p = 3k + 1 thì:
2p + 1 = 2 . ( 3k + 1 ) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3 . ( 2k + 1 )
=> 2p + 1 chia hết cho 3
Ta có: 2p + 1 > 3
=> 2p + 1 là hợp số ( loại )
* Với p = 3k + 2 thì:
4p + 1 = 4 . ( 3k + 2 ) + 1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9 = 3 . ( 4k + 3 )
=> 4p + 1 chia hết cho 3
Ta có: 4p + 1 > 3
=> 4p + 1 là hợp số
Vậy ...
Lời giải:
Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ không chia hết cho 3. Nghĩa là $p$ chia $3$ dư $1$ hoặc $2$.
Nếu $p$ chia $3$ dư $1$ thì $2p+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)\vdots 3$. Mà $2p+1>3$ với mọi $p>3$ nên $2p+1$ không là snt (trái với đề)
$\Rightarrow p$ chia $3$ dư $2$. Đặt $p=3k+2$ với $k\in\mathbb{N}$
$\Rightarrow 4p+1=4(3k+2)+1=12k+9=3(4k+3)\vdots 3$. Mà $4p+1>3$ nên $4p+1$ là hợp số.
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên \(p=3k+1\) hoặc \(p=3k+2\) \(\left(k\inℕ^∗\right)\)
Nếu \(p=k+1\) thì \(2p+1=2.\left(3k+1\right)+1=6k+3\in3\) và \(6k+3>3\)
\(\Leftrightarrow2p+1\) là hợp số \(\left(loại\right)\)
Nếu \(p=3k+2\) . Khi đó \(4p+1=4.\left(3k+2\right)=1=12k+9\in3\)
Và \(12k+9>3\) nên là hợp số \(\left(nhận\right)\)