Question

[Gia Linh Khuất]

Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB. Lấy điểm C bất kỳ thuộc nửa đường tròn (C khác A và B).Kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn (O,R) (A là tiếp điểm). Tia BC cắt Ax tại M.Gọi I là trung điểm của AM.

a) Chứng minh: BM.BC = 4_\(^{R^2}\)

b) Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O, R)

c) Chứng minh \(^{IC^2}\) = \(\frac{1}{4}\)\(MB.MC\)  và  \(4.\) \(IO^2=MA^2+4R^2\)

d) Kẻ tiếp tuyến By với nửa đường tròn (O,R) tại B. Tia IC cắt By tại K. Hạ CH vuông góc với AB. Gọi D là giao của AC và OI; E là giao của BC và OK. Chứng minh khi điểm C di chuyển trên nửa đường tròn (O, R) thì đường tròn ngoại tiếp tam giác DHE luôn đi qua một điểm cố định.

Giúp mình giải bài này với! Mình cần bài này gấp!

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Do C thuộc nửa đường tròn nên \(\widehat{ACB}=90^o\) hay AC vuông góc MB.

Xét tam giác vuông AMB có đường cao AC nên áp dụng hệ thức lượng ta có:

\(BC.BM=AB^2=4R^2\)

b) Xét tam giác MAC vuông tại C có CI là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên IM = IC = IA

Vậy thì \(\Delta ICO=\Delta IAO\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ICO}=\widehat{IAO}=90^o\)

Hay IC là tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn.

c) Xét tam giác vuông AMB có đường cao AC, áp dụng hệ thức lượng ta có:

\(MB.MC=MA^2=4IC^2\Rightarrow IC^2=\frac{1}{4}MB.MC\)

Xét tam giác AMB có I là trung điểm AM, O là trung điểm AB nên IO là đường trung bình tam giác ABM.

Vậy thì \(MB=2OI\Rightarrow MB^2=4OI^2\)   (1) 

Xét tam giác vuông MAB, theo Pi-ta-go ta có:

\(MB^2=MA^2+AB^2=MA^2+4R^2\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(4OI^2=MA^2+4R^2.\)

d) Do IA, IC là các tiếp tuyến cắt nhau nên ta có ngay \(AC\perp IO\Rightarrow\widehat{CDO}=90^o\)

Tương tự \(\widehat{CEO}=90^o\)

Xét tứ giác CDOE có \(\widehat{CEO}=\widehat{CDO}=90^o\)mà đỉnh E và D đối nhau nên tứ giác CDOE nội tiếp đường tròn đường kính CO.

Xét tứ giác CDHO có: \(\widehat{CHO}=\widehat{CDO}=90^o\) mà đỉnh H và D kề nhau nên CDHO nội tiếp đường tròn đường kính CO.

Vậy nên C, D, H , O, E cùng thuộc đường tròn đường kính CO.

Nói cách khác, O luôn thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE.

Vậy  đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE luôn đi qua điểm O cố định.