Question

[Nguyễn Anh Quân]

Cho 2 số x,y tm : x^2 + x^2.y^2 - 2y = 0 và x^3 + 2y^2 - 4y + 3 = 0

Tính giá trị của biểu thức Q = x^2 + y^2

Answer 1

[Không Tên]

Ta có: x² + x²y² - 2y = 0

\(\Rightarrow\)x² + x²y² + y² - 2y + 1 - y² - 1 = 0

\(\Rightarrow\)(x² - 1) + (x²y² - y²) + (y - 1)² = 0 

\(\Rightarrow\)(x² - 1) + y²(x² - 1) + (y - 1)² = 0

\(\Rightarrow\)(x² - 1)(1 + y²) + (y - 1)² = 0

\(\Rightarrow\)(x² - 1)(1 + y²) =   -(y - 1)²     \(\le\)0     V y

\(\Rightarrow\)x² - 1 \(\le\)0  V x       ( vì 1 + y² > 0 ,  V y )

\(\Rightarrow\)(x - 1)(x + 1) \(\le\)0 

\(\Rightarrow\)x - 1 và x + 1 trái dấu

Do đó  \(\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\x+1\le0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x\ge1\\x\le-1\end{cases}}\)  ( vô lý )

Hoặc \(\hept{\begin{cases}x-1\le0\\x+1\ge0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x\le1\\x\ge-1\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow\)-1\(\le\)x \(\le\)1     (*)

Lại có:  x³ + 2y² - 4y + 3 = 0

\(\Rightarrow\)(x³ + 1) + 2(y² - 2y + 1) = 0

\(\Rightarrow\)(x³ + 1) + 2(y - 1)² = 0

\(\Rightarrow\)x³ + 1 =   -2(y - 1)²  \(\le\)0,    V  y 

\(\Rightarrow\)x³ + 1 \(\le\)0,   V  x

\(\Rightarrow\)(x + 1)(x² - x + 1) \(\le\)0 

\(\Rightarrow\)x + 1 \(\le\)0   ( vì x² - x + 1 = (x - 1/2 )² + 3/4  > 0, V x   )

\(\Rightarrow\)x \(\le\)-1  (**)

Từ (*) và (**) suy ra   x = -1 \(\Rightarrow\)(-1)² + (-1)² . y² - 2y = 0

                                            \(\Rightarrow\)1 + y² - 2y = 0

                                            \(\Rightarrow\)( y - 1 )² = 0  \(\Rightarrow\)y = 1

\(\Rightarrow\)x² + y² = (-1)² + 1² = 2