Cho x+2y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(x^2+2y^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LN
2
TA
22 tháng 4 2016
Ta có x+2y= 1 => x= 1-2y
Theo đề bài x^2+2y^2 >=0
<=> (1-2y)(1-2y) + 2y^2 >=0
<=> 1 - 2y - 2y + 4y + 2y^2 >=0
<=> 1-4y+4y + 2y^2>=0
<=> (1-2y)^2 + 2y^2>=0
<=> (1-2y)^2>= -2y^2
Vậy giá trị nhỏ nhất là -2y^2 khi 1-2y=0 <=> y=1/2
Cái dạng này mình mới biết làm nha bạn, có sai thì thôi nha :3
LN
0
NT
2
KT
29 tháng 4 2018
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
\(\left(x+2y\right)^2=\left(x+\sqrt{2}.\sqrt{2}y\right)^2\le\left(1^2+\sqrt{2}^2\right)\left[x^2+\left(\sqrt{2}y\right)^2\right]\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+2y\right)^2\le3\left(x^2+2y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(1\le3\left(x^2+2y^2\right)\) (do x + 2y = 1 )
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2y^2\ge\frac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x+2y=1\\\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}y}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{3}\)
Vậy \(Min\)\(A=\frac{1}{3}\) \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{3}\)
P/s: tham khảo thôi nhé, mk ko chắc đúng (yếu phần cực trị)
HN
2 tháng 3 2020
\(x^2+2y^2=\left(x+2y\right)^2\) mà \(x+2y=1=>\left(x+2y\right)^2=1^2=1\)
vậy A=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 8 2021
Đặt \(x+2y+1=a\)
\(P=a^2+\left(a+4\right)^2=2a^2+8a+16=2\left(a+2\right)^2+8\ge8\)
5 tháng 7 2016
1/B=\(-\left(x^2+2y^2+2xy-2y\right)\)
=\(-\left(x^2+2xy+y^2+y^2-2y+1-1\right)\)
=\(-\left[\left(x+y\right)^2+\left(y-1\right)^2\right]+1\)<=1
Bmax=1 khi x+y=0 và y-1=0=>x=-1;y=1
2/C=\(x^2+x+\frac{1}{4}+y^2+y+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\)
=\(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)>=\(\frac{1}{2}\)
Cmin=\(\frac{1}{2}\)khi \(x+\frac{1}{2}=0\)và \(y+\frac{1}{2}=0\)=>\(x=y=\frac{-1}{2}\)
VN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 8 2021
\(S=\left(x^2+y^2+1+2xy+2x+2y\right)+\left(y^2-4y+4\right)+2021\)
\(S=\left(x+y+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+2021\ge2021\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(-3;2\right)\)
HN
2
B
3 tháng 9 2021
Từ gt ta có x^2+y^^2=xy+1
=>P=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2-x^2y^2
=(xy+1)2-2x2y2-x2y2
=x2y2+xy+1-3x2y2=-2x2y2+xy+1
=......
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 9 2021
\(1=x^2+y^2-xy\ge2xy-xy=xy\Rightarrow xy\le1\)
\(1=x^2+y^2-xy\ge-2xy-xy=-3xy\Rightarrow xy\ge-\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow-\dfrac{1}{3}\le xy\le1\)
\(P=\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(xy\right)^2-\left(xy\right)^2=\left(xy+1\right)^2-3\left(xy\right)^2=-2\left(xy\right)^2+2xy+1\)
Đặt \(xy=t\in\left[-\dfrac{1}{3};1\right]\)
\(P=f\left(t\right)=-2t^2+2t+1\)
\(f'\left(t\right)=-4t+2=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}\)
\(f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{9}\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\) ; \(f\left(1\right)=1\)
\(\Rightarrow P_{max}=\dfrac{3}{2}\) ; \(P_{min}=\dfrac{1}{9}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 3 2021
\(P=\dfrac{x+2y}{2xy}+\dfrac{1}{x+2y}=\dfrac{x+2y}{4}+\dfrac{1}{x+2y}\)
\(P=\dfrac{x+2y}{16}+\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{3\left(x+2y\right)}{16}\)
\(P\ge2\sqrt{\dfrac{x+2y}{16\left(x+2y\right)}}+\dfrac{3}{16}.2\sqrt{2xy}=\dfrac{5}{4}\)
\(P_{min}=\dfrac{5}{4}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\)
Ta có:x+2y=1
=> x=1-2y (*)
Thay (*) vào x2+2y2 ta có
\(x^2+2y^2=\left(1-2y\right)^2+2y^2\)
\(=6y^2-4y+1\)
\(=6\left(y^2-2.y.\frac{1}{3}+\frac{1}{9}\right)+\frac{1}{3}\)
\(=6\left(y-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{1}{3}\ge\frac{1}{3}\)
Đến đây dễ rồi bạn tự làm nhé