Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện : x+y+z= 6 , x2+y2+z2= 12
Tính giá trị x,y,z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
2 tháng 2 2019
Đáp án D
Ta có C 12 1 . C 10 1 = 120
Khi đó C 12 1 . C 10 1 = 120 . Đặt C 12 1 . C 10 1 = 120
Ta luôn có C 12 1 . C 10 1 = 120
C 12 1 . C 10 1 = 120 Suy ra C 12 1 . C 10 1 = 120
Xét hàm số f t = t 2 − 8 t + 3 trên khoảng − 1 ; + ∞ ,có f ' t = 2 t + 1 2 t + 4 t + 3 2 > 0 ; ∀ t > − 1
Hàm số f(t) liên tục trên − 1 ; + ∞ ⇒ f t đồng biến trên − 1 ; + ∞
Do đó, giá trị nhỏ nhất của f(t) là min − 1 ; + ∞ f t = f − 1 = − 3 . Vậy P min = − 3
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 1 2021
Lời giải:Vì $x^2+y^2+z^2=2$ nên:
$P=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$
$=3+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$
$\leq 3+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$
(theo BĐT AM-GM)
$=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}=3$
Vậy $P_{\max}=3$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}$
CM
22 tháng 8 2019
Chọn đáp án A
Do đó, P có thể nhận các giá trị nguyên là 0; -1
STUDY TIP |
Trong biểu thức P vai trò của z khác x, y do đó, ta tìm cách rút x, y theo z từ điều kiện ban đầu. Từ đó quy về phương trình ẩn z và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm |
Phương trình (2), (3) là các phương trình mặt phẳng
Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến d có vecto chỉ phương là
Phương trình (4) là phương trình mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0) bán kính R = 5
X, y, z tồn tại khi và chỉ khi d cắt (S)
Do đó P có thể nhận các giá trị nguyên là 0; -1
STUDY TIP |
Các biểu thức liên hệ giữa x, y, z có dạng phương trình mặt phẳng, mặt cầu. Từ đó giúp ta nghĩ đến việc xét vị trí tương dối giữa mặt cầu, với đường thẳng và mặt phẳng |
30 tháng 1 2021
Sửa đề: \(P=x^{2008}+y^{2009}+z^{2010}\)
Ta có: x+y+z=1
nên \(\left(x+y+z\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=1\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+1=1\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
mà 3>0
nên \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\x+z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\x=-z\end{matrix}\right.\)
Thay x=-y vào biểu thức \(x+y+z=1\), ta được:
\(-y+y+z=1\)
hay z=1
Thay x=-y và z=1 vào biểu thức \(x^2+y^2+z^2=1\), ta được:
\(\left(-y\right)^2+y^2+1=1\)
\(\Leftrightarrow y^2+y^2=0\)
\(\Leftrightarrow2y^2=0\)
hay y=0
Vì x=-y
và y=0
nên x=0
Thay x=0; y=0 và z=1 vào biểu thức \(P=x^{2008}+y^{2009}+z^{2010}\), ta được:
\(P=0^{2008}+0^{2009}+1^{2010}=1\)
Vậy: P=1
TT
12 tháng 11 2022
nma ở trên cm y=-z mà. Nếu ở thay y=0 và z=1 vào thì nghĩa là 0 = -1 hả
NP
1
12 tháng 1 2023
Ta có: \(x^2+y^2+z^2=1\)
\(\Rightarrow x\le1,y\le1,z\le1\)
\(\Rightarrow x-1\le0,y-1\le0,z-1\le0\)
\(\Rightarrow x^2\left(x-1\right)\le0,y^2\left(y-1\right)\le0,z^2\left(z-1\right)\le0\)
(vì \(x^2,y^2,z^2\ge0\))
\(\Rightarrow x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)+z^2\left(z-1\right)\le0\).
hay \(x^3+y^3+z^3\le x^2+y^2+z^2=1\).
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2\left(x-1\right)=0\\y^2\left(y-1\right)=0\\z^2\left(z-1\right)=0\end{matrix}\right.\) và \(x^2+y^2+z^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x,y,z\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị.
Mặt khác theo giả thiết: \(x^3+y^3+z^3=1\).
\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị.
\(\Rightarrow xyz=0\)
CM
14 tháng 2 2017
Ta có:
P = 1 x ( 1 z 2 + 1 y 2 ) + 1 y ( 1 z 2 + 1 x 2 ) + 1 z ( 1 x 2 + 1 y 2 )
Đặt: 1 x = a ; 1 y = b ; 1 z = c thì a,b,c>0 và a2+b2+c2=1
P = a b 2 + c 2 + b c 2 + a 2 + c a 2 + b 2 = a 2 a ( 1 − a 2 ) + b 2 b ( 1 − b 2 ) + c 2 c ( 1 − c 2 )
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:
a 2 1 - a 2 2 = 1 2 .2 a 2 ( 1 − a 2 ) ( 1 − a 2 ) ≤ 1 2 2 a 2 + 1 − a 2 + 1 − a 2 3 = 4 27 = > a ( 1 − a 2 ) ≤ 2 3 3 < = > a 2 a ( 1 − a 2 ) ≥ 3 3 2 a 2 ( 1 )
Tương tự: b 2 b ( 1 − b 2 ) ≥ 3 3 2 b 2 ( 2 ) ; c 2 c ( 1 − c 2 ) ≥ 3 3 2 c 2 ( 3 )
Từ (1); (2); (3) ta có P ≥ 3 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 3 3 2
Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1 3 h a y x = y = z = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 3 2
Áp dụng bđt bunhia cho 2 bộ số (1 ; 1 ; 1) và (x ; y ; z) ta có:
(1 + 1 + 1).(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)²
<=> 3(x² + y² + z²) ≥ 36 < do x+y+z=6 theo đề bài >
<=> x² + y² + z² ≥ 12 => đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2
-----------------------------
2) xy/z + yz/x + zx/y ≥ x + y + z với x,y,z là các số thực dương
Áp dụng bđt cô si cho 2 số thực dương ta có:
xy/z + yz/x ≥ 2y
yz/x + zx/y ≥ 2z
xy/z + zx/y ≥ 2x
Cộng vế với vế 3bđt trên ta được :
xy/z + yz/x + zx/y ≥ x + y + z => đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z
-----------------------------------
3) x² + 5y² - 4xy + 2x - 6y +3 > 0 với mọi x , y
<=> (x² - 4xy + 4y²) + (2x - 4y) + 1 + (y² -2y + 1) + 1 > 0
<=> [(x - 2y)² + 2(x - 2y) + 1] + (y - 1)² + 1 > 0
<=> (x - 2y + 1)² + (y - 1)² + 1 > 0 => luôn đúng với mọi x,y
=> đpcm