Chứng tỏ rằng : A=2+2^2+2^3+2^4+........+2^90 chia hết cho 21
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
A=(2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6)+.........+(2^85+2^86+2^87+2^88+2^89+2^90)
A=2.(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5)+...........+2^85.(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5)
A=2.63+.........+2^85.63 chia hết cho 21
Vậy A chia hết cho 21
=2(2^0+2^1+...+2^89)/21
vì (2^0+2^1+...+2^89) chia hết cho 21
suy ra : 2(2^0+2^1+...+2^89) chia hết cho 21
suy ra : 2+2^2+...+2^90 chia hết cho 21
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=2+2^2+2^3+............+2^{90}\)
\(A=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6\right)+.............+\left(2^{85}+2^{86}+2^{87}+2^{88}+2^{89}+2^{90}\right)\)
\(A=2.3.21+2^7.3.21+...........+2^{85}.3.21\)
\(A=21.3.\left(2+2^7+.......+2^{85}\right)\)
=> A chia hết cho 21
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
A = 2 + 22 + 23 + 24 + ........... + 290
A = ( 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 ) + .................... + ( 285 + 286 + 287 + 288 + 289 + 290 )
A = 126 + .......................... + 284 . ( 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 )
A = 126 + ...................... + 284 . 126
A = 126 . ( 1 + ................. + 284 )
Mà 126 \(⋮\)21 \(\Rightarrow A⋮21\left(đpcm\right)\)
Ta có : A= 2+2^2+2^3+2^4+...+2^90
= (2+2^2+2^3+...+2^6)+(2^7+2^8+...+2^12)+...+(2^85+2^86+...+2^90)
Mà các nhóm trên chia hết cho 21 nên A chia hết cho 21
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Có 90 số hạng nên ghép từng cặp 2 số ta có
A= (2+2^2)+(2^3+2^4)...+(2^89+2^90)
= 2x(1+2)+2^3(1+2)+...+2^89(1+2)
= 2.3+2^2.3+...+2^89.3 chia hết cho 3
+,ghép từng cặp 3 số
A= (2+2^2+2^3)+....+(2^88+2^89+2^90)
= 2x(1+2+2^2)+....+2^88(1+2+2^2)
= 2.7+....+2^88.7 chia hết cho 7
mà (3;7)=1 => A chia hết cho 3x7=21
Vậy A chia hết cho 21.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a,
a= 21 + 22 + 23 + ....+ 230
a= ( 21+22 ) + (23 + 24 ) + ...+ ( 229 + 230 )
a = 21 (1+2) + 23(1+2) + ...+ 229(1+2)
a = 21.3 + 23 .3 + ...+ 229 .3
a = 3 ( 21 + 23 + ..+ 229 ) \(⋮\) 3
Vậy a chia hết cho 3
a = 21 + 22 + 23 + ....+ 230
a = ( 21 + 22 + 23 ) + ....+ ( 228 + 229 + 230 )
a = 21(1+2+22) + .....+ 228(1+2+22 )
a = 21 . 7 + ...+ 228.7
a = 7 (21 + ..+228) \(⋮\) 7
Vậy a chia hết cho 7
Vì a chia hết cho 3 và 7 nên a sẽ chia hết cho 21
b,
a = 88 + 220
a = (23)8 + 220
a = 224 + 220
a = 220 . 24 + 220
a=220(24 + 1)
a= 220 . 17 \(⋮\) 17
=> đpcm
\(A=2+2^2+2^3+...+2^{90}\)
\(A=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{85}+2^{86}+2^{87}+2^{88}+2^{89}+2^{90}\right)\)
\(A=2.\left(1+2+4+8+16+32\right)+...+2^{85}.\left(1+2+4+8+16+32\right)\)
\(A=2.63+2^7.63+...+2^{85}.63\)
\(A=63.\left(2+2^7+...+2^{85}\right)\)
\(A=21.3.\left(2+2^7+...+2^{85}\right)\)
Vì tích trên có chứa thừa số 21 nên \(⋮21\)hay \(A⋮21\)