Question

[Lương Tài Phú]

Cho đường tròn (O) đường kính BC=10cm Vẽ dây BA sao cho BA=5cm Vẽ AH là đường cao của tam giác ABC

a) Tính BH,CH và số đo góc ABC

b) Vẽ đường tròn tâm I đường kính AH cắt (O) tại M cắt AB,AC lần lượt tại EF Tính EF

c) AM cắt BC tại S chứng minh ba điểm S,E,F thẳng hàng

Vẽ hình giúp mình nha

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại A

Xét ΔABC vuông tại A có \(cosABC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{ABC}=60^0\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=AB^2;CH\cdot CB=CA^2\)

=>\(BH\cdot10=5^2=25;CH\cdot10=\left(5\sqrt{3}\right)^2=75\)

=>BH=25:10=2,5(cm); CH=75/10=7,5(cm)

b:

ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(HA=\sqrt{5^2-2,5^2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\)

Xét (I) có

ΔAEH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAEH vuông tại E

=>HE\(\perp\)AB tại E

Xét (I) có

ΔAFH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAFH vuông tại F

=>HF\(\perp\)AC tại F

Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)

=>AEHF là hình chữ nhật

=>EF=AH

=>\(EF=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\)

Answer 2

[Lê Song Phương]

c) Xét đường tròn (I) có đường kính AH \(\Rightarrow\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o\).

Tam giác AHB vuông tại H có đường cao HE nên \(AH^2=AE.AB\). Tương tự, ta có \(AE.AB=AF.AC=AH^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Tam giác AEF và ACB có:

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\left(cmt\right);\widehat{BAC}\) chung

\(\Rightarrow\Delta AEF\sim\Delta ACB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác BEFC nội tiếp

 Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC là J.

 Khi đó, ta có S thuộc trục đẳng phương AM của (O) và (I), đồng thời S cũng thuộc trục đẳng phương BC của (O) và (J), do đó S thuộc trục đẳng phương EF của (I) và (J) hay S, E, F thẳng hàng. (đpcm)