Question

[Hòa Vũ]

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn:                                                                                                                                                          \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=\sqrt{2011}\)                                                                                                   Chứng minh rằng: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}\)

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{a^2+b^2}=x\\\sqrt{b^2+c^2}=y\\\sqrt{c^2+a^2}=z\end{cases}}\left(x,y,z>0\right)\)

Khi đó \(\hept{\begin{cases}a^2=\frac{z^2+x^2-y^2}{2}\\b^2=\frac{x^2+y^2-z^2}{2}\\c^2=\frac{y^2+z^2-x^2}{2}\end{cases}}\)và giả thiết được viết lại thành \(x+y+z=\sqrt{2011}\)

Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: \(2\left(b^2+c^2\right)=\left(1^2+1^2\right)\left(b^2+c^2\right)\ge\left(b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow b+c\le\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}=\sqrt{2}y\)

Tương tự: \(a+b\le\sqrt{2}x;c+a\le\sqrt{2}z\)

Ta cần chứng minh: \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{z^2+x^2-y^2}{y}+\frac{x^2+y^2-z^2}{z}+\frac{y^2+z^2-x^2}{x}\right)\ge\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{2011}{2}}\)(*)

Thật vậy: \(VT_{\left(^∗\right)}\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)}-\left(x+y+z\right)\right)\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(x+y+z\right)=\frac{\sqrt{2011}}{2\sqrt{2}}=VP_{\left(^∗\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2011}}{3}\)hay \(a=b=c=\sqrt{\frac{2011}{18}}\)

Answer 2

[zZz Cool Kid_new zZz]

Another way từ dòng thứ 3 dưới lên:

\(\frac{y^2+z^2-x^2}{2\sqrt{2}x}+\frac{x^2+y^2-z^2}{2\sqrt{2}z}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2\sqrt{2}y}\)

\(\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{\left(y+z\right)^2}{2x}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2z}+\frac{\left(z+x\right)^2}{2y}-x-y-z\right]\)

\(\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(2x+2y+2z-x-y-z\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(x+y+z\right)=RHS\)